Box-Cox變換

簡介

編輯

Box-Cox變換的一般形式為：

式中

   

為經Box-Cox變換后得到的新變量，

   

為原始連續因變量，

   

為變換參數。以上變換要求原始變量

   

取值為正，若取值為負時，可先對所有原始數據同加一個常數

   

使其

   

為正值，然后再進行以上的變換。對不同的

   

所作的變換不同。在

   

時該變換為對數變換，

   

時為倒數變換，而在

   

時為平方根變換。Box-Cox變換中參數

   

的估計有兩種方法：(1) 最大似然估計；(2)Bayes方法。通過求解

   

值，就可以確定具體采用哪種變換形式。

變換過程

編輯

Box-Cox變換是對回歸因變量Y的如下變換：

在這里

   

是一個待定變換參數。對於不同的

   

，所作的變換也不相同，所以Box-Cox變換是一族變換，它包括了平方根變換(

   

)，對數變換(

   

)和倒數變換(

   

)等常用變換，對因變量的n個觀測值

   

，應用上述變換，可得變換后的向量

我們要確定變換參數

   

，使得

   

滿足

即要求通過因變量的變換，使得變換過的向量

   

與回歸自變量具有線性相依關系，誤差也服從正態分布．誤差各分量是等方差且相互獨立，故Box-Cox變換是通過參數

   

的適當選擇。達到對原來數據的“綜合治理”，使其滿足一個正態線性回歸模型的所有假設條件。

用極大似然方法來確定

   

，由於

   

，故對固定的

   

，

   

和

   

的似然函數為

其中，

   

為變換的Jacobi行列式

當

   

固定時，

   

是不依賴於參數

   

和

   

的常數因子，

   

的其余部分關於

   

和

   

求導數，令其等於零，可求得

   

和

   

的極大似然估計

殘差平方和為

對應的似然最大值為

該式為

   

的一元函數，通過求它的最大值來確定

   

，因為

   

是x的單調函數，問題可轉化為求

   

的最大值，對式(3)求對數，略去與

   

無關的常數項，得

其中，

式(4)對Box-Cox變換在計算機上實現帶來很大的方便，因為我們只要求出殘差平方和

   

的最小值，就可以求出

   

的最大值，雖然很難找出使

   

達到最小值的

   

的解析表達式，但是對一系列的

   

給定值，通過最普通的求最小二乘估計的回歸程序，很容易計算出對應的

   

，畫出

   

關於

   

的曲線，可在圖上近似地找出

   

達到最小值的

   

。

Box-Cox變換變換的具體步驟如下：

(1)對給定的

   

值，計算

   

，如果

   

，用式(6)計算，否則用式(7)；

(2)利用式(5)計算 殘差平方和

   

；

(3)對一系列的

   

值，重復上述步驟，得到相應的殘差平方和

   

的一串值，以

   

為橫軸，作出相應的曲線，用直觀的方法，找出使

   

達到最小值的點

   

。

(4)利用式(2)，求出

   

。

意義

編輯

Box-Cox變換的一個顯著優點是通過求變換參數

   

來確定變換形式，而這個過程完全基於數據本身而無須任何先驗信息，這無疑比憑經驗或通過嘗試而選用 對數、 平方根等變換方式要客觀和精確。

Box-Cox變換的目的是為了讓數據滿足線性模型的基本假定，即線性、正態性及方差齊性，然而經Box-Cox變換后數據是否同時滿足了以上假定，仍需要考察驗證  [2]  。