$des$
有 $n$ 個物品,第 $i$ 個物品有兩個屬性 $k_i, b_i$ ,表示它在時刻 $x$ 的價值為 $k_i
\times x + b_i$ .
當前處於時刻 $0$ ,你可以選擇不超過 $m$ 個物品,使得存在某個整數時刻 $t$, $t >= 0$
,你選擇的所有物品的總價值大於等於 $S$ .
給出 $S$,求 $t$ 的最小值。
$sol$
選擇任意一個集合,得到的收益和都可以表示為一個一次函數的形式。只關心這些
一次函數的最大值,可以發現這個最大值一定是先降后增的(當 t 非常大時,$k_i \times t > b_i$, 也有可能是單調遞增或者單調遞減)。
因此只需要 check 一下 0 時刻是否符合條件,如果不符合則進行二分。
注意 check 的時候只需要找出最大的 m 個即可,因此可以 O(n) 地做,具體做法是快排
的過程中只遞歸一邊。直接用 STL 的 nth_element() 即可。
時間復雜度 $O(nlog10^9)$
$code$
#include <bits/stdc++.h> #define Rep(i, j, k) for (int i = j; i <= k; i++) using namespace std; int Read() { char c = getchar(); int x = 0; int sig = 1; while (c < '0' || c > '9') { if (c == '-') sig = -1; c = getchar(); } while (c >= '0' && c <= '9') x = x * 10 + c - '0', c = getchar(); return x * sig; } const int N = 1e6 + 10; typedef long long LL; int n, m; LL S; int k[N], b[N]; LL val[N]; bool check(int x) { Rep(i, 1, n) val[i] = 1ll * k[i] * x + b[i]; nth_element(val + 1, val + m, val + n + 1, greater<LL>()); LL sum = 0; Rep(i, 1, m) if (val[i] > 0 && (sum += val[i]) >= S) return true; return false; } int main() { n = Read(), m = Read(); scanf("%lld", &S); Rep(i, 1, n) k[i] = Read(), b[i] = Read(); if (check(0)) {puts("0"); return 0;} int L = 1, R = 1e9, Ans; while (L <= R) { int mid = (L + R) / 2; if (check(mid)) Ans = mid, R = mid; else L = mid + 1; } printf("%d\n", Ans); return 0; }