二分是在歷年考試中容易出D1T1和D2T1的簡單題，是盡量需要滿分拿到的知識點，也是難題的優化基礎——王主任
二分
二分法指的是在有序的一段區間內,先取一個中間值，判定一下正確答案在中間值的左邊還是右邊，然后接着再二分，直到找到答案為止
二分的優越性
二分相對於暴力枚舉來講，判定次數會顯著變少。具體來說，如果暴力枚舉期望是O(N)次，那么二分只需要O(logN)次就可以得出答案
二分查找和線性查找23的位置：
二分查找和線性查找1的位置：
一般來講我們會在以下情況用到二分：
- 求單調函數的零點
- 求一堆東西的最小值最大是多少
- 很難直接算出答案，但是很好判定答案合不合法
說到二分就離不開二分的常見題型二分答案
顧名思義二分答案就是在可能的答案區間里通過二分法來查找答案
代碼框架：
while(l<r){
mid=(l+r)/2;
if(check(mid))r=mid;//check用來判斷答案位置
else l=mid+1;
}
二分答案的具體運用
我們來看一些例題
進擊的奶牛 luogu1824 ：
題目描述
Farmer John建造了一個有N(2<=N<=100,000)個隔間的牛棚，這些隔間分布在一條直線上，坐標是x1,...,xN (0<=xi<=1,000,000,000)。
他的C(2<=C<=N)頭牛不滿於隔間的位置分布，它們為牛棚里其他的牛的存在而憤怒。為了防止牛之間的互相打斗，Farmer John想把這些牛安置在指定的隔間，所有牛中相鄰兩頭的最近距離越大越好。那么，這個最大的最近距離是多少呢？
輸入格式
第1行：兩個用空格隔開的數字N和C。
第2~N+1行：每行一個整數，表示每個隔間的坐標。
輸出格式
輸出只有一行，即相鄰兩頭牛最大的最近距離。
輸入輸出樣例
輸入
5 3
1
2
8
4
9
輸出
3
要求相鄰兩頭牛最大的最近距離，很顯然要用二分答案。根據二分答案的思想，我們要確定的距離區間左端點就是最小值0，右端點就是最大值，也就是編號最大的牛棚減去編號最小的牛棚。之后對這個區間進行二分答案。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e6+9;
int a[N],n,c;
bool check(int m){
int cnt=1;//第一個牛棚已經算在內
int x=1;
for(int i=1;i<=n;i++)
if(a[i]-a[x]>=m) {//如果有滿足當前答案距離的牛棚
cnt++;
x=i;
}
if(cnt<c) return true;//如果牛棚數比c小，則向右查找
else return false;//反之向左查找
}
int main()
{
cin>>n>>c;
for(int i=1;i<=n;i++){
cin>>a[i];
}
sort(a+1,a+n+1);
int l=1,r=a[n]-a[1];
while(l+1!=r){
int m=(l+r)/2;
if(check(m)) r=m;
else l=m;
}
cout<<l;
return system("pause");
}
一元三次方程求解 luogu1024 ：
題目描述
有形如：$ax3+bx2+cx1+dx0=0$ 這樣的一個一元三次方程。給出該方程中各項的系數(a,b,c,d均為實數)，並約定該方程存在三個不同實根(根的范圍在-100−100至100100之間)，且根與根之差的絕對值≥1。要求由小到大依次在同一行輸出這三個實根(根與根之間留有空格)，並精確到小數點后22位。
提示：記方程f(x)=0，若存在兩個數$x_1$和$x_2$，且$x_1$<$x_2$，f($x_1$)×f($x_2$)<0，則在($x_1$,$x_2$)之間一定有一個根。
輸入格式
一行，4個實數A,B,C,D
輸出格式
一行，3個實根，並精確到小數點后2位。
輸入輸出樣例
輸入
1 -5 -4 20
輸出
-2.00 2.00 5.00
題目中已經給定了答案區間[-100,100]，我們對其進行二分答案,在區間內每次枚舉兩個點,根據零點存在性定理，若存在零點則進行二分，二分出三個答案后退出程序
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<cstring>
#define db double
using namespace std;
db a,b,c,d,f1,f2;
int cnt=0;
db check(db x){
return a*x*x*x+b*x*x+c*x+d;
}
int main()
{
cin>>a>>b>>c>>d;
db l,r,mid;
for(db i=-100;i<=100;++i){
f1=check(i);
f2=check(i+1);
if(!f1){//如果f1對應的函數值為零
printf("%.2lf ",i);
cnt++;
}
if(f1*f2<0){//如果f1,f2之間存在零點
l=i,r=i+1;
while(r-l>=0.001){//若要精確到0.01,ε應多一位
mid=(l+r)/2;
if(check(mid)*check(r)>0) r=mid;
else l=mid;
}
printf("%.2lf ",r);
cnt++;
}
if(cnt==3) break;
}
return system("pause");
}
對於 NOIP 中的分治，難點一般會集中在二分上，所以平時要加大對二分的訓練。