二分法
如果序列是有序的，就可以通過二分查找快速定位所需要的數據。除此之外，二分思想還能求出可行解的最值問題，比如想知道某款手機最高能多少樓高度摔下來而不會摔壞，使用二分的方式可以用最小實驗次數就能得到結果（當然你需要准備好幾個樣品）。
整數二分
單調性與二分的關系：有單調性一定可以二分，用二分不一定是單調性。二分的本質不是單調性而是邊界點（找符合條件的最小的數或者最大的數）整數二分是求紅色范圍的右端點 或者 綠色范圍的左端點
1、求紅色邊界點
注： + 1原因：
/ 是向下取整，當l與r只相差1的時候，即 l = r - 1，最終的結果mid = l（即結果不變還是l）,補上1之后 mid = r，再次循環之后l = r 即[r , r]，最終結束循環。如果不補1將會出現死循環。
2、求綠色邊界點
【思路】
每次先寫一個mid，然后想一個check()函數，根據check()函數的值取判斷怎么划分(mid在哪一邊)，到底是是 l = mid，還是 r = mid，第一種補上1即可。（關鍵是找性質，然后判斷mid在左邊還是右邊）
整數二分模板
bool check(int x) {/* ... */} // 檢查x是否滿足某種性質
// 區間[l, r]被划分成[l, mid]和[mid + 1, r]時使用：
int bsearch_1(int l, int r)
{
while (l < r)
{
int mid = l + r >> 1;
if (check(mid)) r = mid; // check()判斷mid是否滿足性質
else l = mid + 1;
}
return l;
}
// 區間[l, r]被划分成[l, mid - 1]和[mid, r]時使用：
int bsearch_2(int l, int r)
{
while (l < r)
{
int mid = l + r + 1 >> 1;
if (check(mid)) l = mid;
else r = mid - 1;
}
return l;
}
數的范圍
給定一個按照升序排列的長度為 nn 的整數數組，以及 qq 個查詢。
對於每個查詢，返回一個元素 kk 的起始位置和終止位置（位置從 00 開始計數）。
如果數組中不存在該元素，則返回
-1 -1。輸入格式
第一行包含整數 n 和 q，表示數組長度和詢問個數。
第二行包含 nn 個整數（均在 1∼10000 范圍內），表示完整數組。
接下來 q行，每行包含一個整數 k，表示一個詢問元素。
輸出格式
共 q 行，每行包含兩個整數，表示所求元素的起始位置和終止位置。
如果數組中不存在該元素，則返回
-1 -1。數據范圍
1≤n≤100000
1≤q≤10000
1≤k≤10000輸入樣例：
6 3 1 2 2 3 3 4 3 4 5輸出樣例：
3 4 5 5 -1 -1
思路：
【參考代碼】
#include<iostream>
using namespace std;
const int N = 100000+10;
int q[N];
int main()
{
int n, m;
cin>> n >> m;
for(int i = 0; i < n; i++) cin>>q[i];
while(m--)
{
int x;
cin>> x;
// 尋找起始位置
int l = 0, r = n - 1;
while(l < r)
{
int mid =(l + r)/2;
if(q[mid] >= x) r = mid;
else l = mid + 1;
}
if(q[l] != x) cout<<"-1 -1"<<endl;
else{
cout<<l<<" ";
// 尋找終點位置
int l = 0, r = n - 1;
while(l<r)
{
int mid = (l + r + 1)/2;
if(q[mid] <= x) l = mid;
else r = mid - 1;
}
cout<< l << endl;
}
}
return 0;
}
洛谷P2249 查找
注意細節叭，l和r是<還是<=的關系，然后轉換邊界的時候注意要不要加一，否則會死循環
#include<iostream>
using namespace std;
const int N = 1e6+10;
int q[N];
int n, m;
int main()
{
cin>>n>>m;
for(int i = 0; i < n; i++) cin>>q[i];
while(m--)
{
int x;
cin>>x;
// 尋找起始位置
int l = 0, r = n - 1;
while(l < r)
{
int mid = (l + r)/2;
if(q[mid] >= x) r = mid;
else l = mid + 1;
}
if(q[l] != x) cout<<"-1"<<' ';
else cout<<l + 1<<' ';
}
return 0;
}
AcWing 68. 0到n-1中缺失的數字
(二分) O(logn)
這道題目給定的是遞增數組，假設數組中第一個缺失的數是 x，那么數組中的數如下所示；
從中可以看出，數組左邊藍色部分都滿足nums[i] == i，數組右邊橙色部分都不滿足nums[i] == i，因此我們可以二分出分界點 x 的值。
另外要注意特殊情況：當所有數都滿足nums[i] == i時，表示缺失的是 n。
時間復雜度分析
二分中的迭代只會執行 O(logn) 次，因此時間復雜度是O(logn)。
class Solution {
public:
int getMissingNumber(vector<int>& nums) {
if(nums.size() == 0) return 0;
int l = 0, r = nums.size() - 1;
while(l < r)
{
int mid = (l + r)/2;
if(nums[mid] != mid) r = mid; //在紅色半邊(滿足條件)
else l = mid + 1;
}
//缺的是n這個數
if(nums[r] == r) r++;
return r;
}
};
浮點數二分
浮點數二分模板
浮點數二分算法模板 —— 模板題 AcWing 790. 數的三次方根
bool check(double x) {/* ... */} // 檢查x是否滿足某種性質（包含了計算和條件）
double bsearch_3(double l, double r)
{
const double eps = 1e-6; // eps 表示精度，取決於題目對精度的要求(一般比題目要求的大2)
while (r - l > eps)
{
double mid = (l + r) / 2;
if (check(mid)) r = mid;
else l = mid;
}
return l;
}
數的三次方跟
給定一個浮點數 n，求它的三次方根。
輸入格式
共一行，包含一個浮點數 n。
輸出格式
共一行，包含一個浮點數，表示問題的解。
注意，結果保留 6 位小數。
數據范圍
−10000≤n≤10000
輸入樣例：
1000.00輸出樣例：
10.000000
#include<iostream>
using namespace std;
int main()
{
double n;
cin>>n;
double l = -10000, r = 10000;
// eps 表示精度，取決於題目對精度的要求(保險1e-8)
const double eps = 1e-8;
while(r - l > eps)
{
double mid = (l + r) / 2;
if(mid * mid * mid >= n) r = mid;
else l = mid;
}
printf("%.6lf\n", l);
return 0;
}
洛谷P1024 [NOIP2001 提高組] 一元三次方程求解
提示：記方程f(x)=0，若存在2個數x1和x2，且f(x1)*f(x2)<0，則在(x1,x2)之間一定有一個根。
#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
double a, b, c, d;// 全局變量方便在cal中使用
const double eps = 1e-6;// 定義精度
//計算一元三次方程
double cal(double x)
{
return a*x*x*x + b*x*x + c*x + d;
}
int main()
{
cin>>a>>b>>c>>d;
//枚舉根
for(int i = -100; i <= 100; i++)
{
//根與根之差的絕對值 ≥1
double l = double(i), r = double(i + 1);// 細節:要將l,r轉為double
if(cal(l) == 0) printf("%.2lf ", l); //若f(x) = 0，根即為x
//f(x1)×f(x2) < 0 根在（x1,x2）之間—— 浮點二分
else if(cal(l) * cal(r) < 0)
{
while(r - l > eps)
{
//x1 < x，f(x1)×f(x2)<0，則在(x1, x2)之間一定有一個根
double mid = (l + r)/2;
// check()條件
if(cal(l) * cal(mid) <= 0) r = mid;
else l = mid;
}
printf("%.2lf ", l);
}
}
}
整數二分與浮點二分比較
