二分算法

本文轉載自查看原文 2021-07-10 21:58 178 ACM集訓

　　1. 基本介紹

二分思想一般用於查找，見其名知其意，這是一個半半開的算法。第一次接觸二分思想的時候是高中的數學學習中，給定一個方程 f(x) = 0的根所在的區間，可以用根存在定理不斷二分區間，當區間長度小於給定的精度時，即可近似求出方程的解，當然也可以用來求平方根和立方根等。同樣，這種查找思想也可以運用於計算機內結構化數據的查找。（tips: 二分查找思想簡單，細節魔鬼）。(詳講博客推薦)

二分查找有很多應用，由於其時間復雜度很低，它可以暴力破解很大的數據。

核心思想

使用二分查找的前提：待查找序列必須有序（升序或降序，本文主要以升序為例）

確定查找區間(left, right)，取區間中間值mid = (left + right)/2，比較中間值與左右兩邊的值，確定待查元素key所在區間，舍棄無效區間(mid = left 或mid = right)。

算法效率分析

時間復雜度：對於數據規模n，每次二分會使查找區間長度減半。最好情況只需要一次查找即可，最壞情況要找()次。綜上述，二分算法其漸進時間復雜度為O()。所以，很多地方考查找時卡時間復雜的時候就要考慮使用二分啦。

空間復雜度：沒有使用額外空間，比較友好。

代碼實現

朴素實現

int BinaryChop(int *arr, int len, int key) {
    int left = 0, right = len, mid;
    while (left < right) {
        mid = (left + right) / 2;
        if (arr[mid] == key)
            return mid; // 找到返回元素位置
        else if (arr[mid] > key)
            right = mid - 1;
        else
            left = mid + 1;
    }
    return -1;// 沒找到返回-1
}

通用實現

int search(int k) {
    int l = -1,r = n;//注意的是數組是從0開始的
    while(l + 1 < r) {
        int mid = l + r >> 1;
        if(a[mid] <= k)
            l = mid;
        else 
            r = mid;
    }
    return r;//返回的是大於k的第一個位置
}