【BZOJ1413】[ZJOI2009]取石子游戲（博弈論，動態規划）
題面
題解
神仙題.jpg。\(ZJOI\)是真的神仙。
發現\(SG\)函數等東西完全找不到規律，無奈只能翻題解。
首先設\(L[i][j]\)表示在\([i,j]\)這一段區間的左側放上一堆數量為\(L[i][j]\)的石子后，先手必敗。同理定義\(R[i][j]\)表示右側。
首先我們可以證明\(L[i][j]\)唯一，假設存在兩個\(L[i][j]\)，顯然較大的那個可以通過一步轉移轉移到較小的那個，所以不合法。因此\(L[i][j]\)唯一。
接下來考慮如何證明\(L[i][j]\)一定存在。假設\(L[i][j]\)不存在，那么對於這段區間而言，在左邊加上任意一堆石子先手都必勝，既然先手必勝意味着先手進行一步操作之后可以到達一個必敗態，這里分情況討論。假設先手拿的是最左邊的一堆石子，因為不存在\(L[i][j]\)，所以只要拿了左邊的石子之后，當前局面都是必勝態，所以不可能拿左邊的石子。那么只能拿右邊的石子，那么無論右邊拿了一定量之后，無論左邊添加了多少，都是一個必敗態，那么此時后手在左側隨便拿走一定數量，這個狀態也還是一個必敗態，顯然也不成立。因此\(L[i][j]\)必定存在。
綜上，我們知道了\(L[i][j]\)一定存在並且唯一，而\(L[][],R[][]\)顯然是對稱的，因此\(R[i][j]\)也滿足上述性質。
現在考慮如何求解\(L[i][j]\),\(R[i][j]\)同理。首先邊界情況顯然，\(L[i][i]=a[i]\)，因為只剩下兩堆一模一樣的情況的時候，后手只需要模仿先手的行動對稱執行就好了，這樣子一定不會輸，即先手必敗。
接下來來大力分類討論，為了方便(為了抄)，設\(L=L[i][j-1],R=R[i][j-1],x=a[j]\)
- \(x=R\)
這種情況下顯然只需要直接把\(a[j]\)放進去就好了，即這個區間本身就是一個必敗態。所以\(L[i][j]=0\)。 - \(x<L,x<R\)
這種情況下\(L[i][j]=x\)。這種情況下最靠左的\(L[i][j]\)和\(x=a[j]\)是相同的，意味着先手無論怎么取，后手顯然可以學着它的方法取，也就意味着左右兩堆中顯然必然會先拿完一堆，此時后手學着拿的那一堆的石子數一定也是小於\(L,R\)的。假設先手先拿完了最靠右的一堆，即剩下了\([i,j-1]\)，因為\(L[i][j-1]\)表示的是在這一段區間最左側加入一個\(L[i][j-1]\)的堆，無論先手怎么取先手都是必敗的，那么我們等價的認為先手取走了這一堆的一部分，顯然后手是必勝的。假如先手先取完的是最左的一堆，同理，\(R[i][j-1]\)的含義是在最右側加入了一堆，而\(a[j]<R[i][j-1]\)，我們還是可以等價的認為先手在這一堆中取走了若干石子，而這個狀態對於先手而言是必敗狀態，因此顯然后手必勝。 - \(R<x<L\)
這種情況下\(L[i][j]=x-1\)。這樣子考慮，假設先手先拿了左邊這一堆，那么假設還剩下了\(z\)個石子，如果\(z<R\)，后手把右側的那一堆也給拿成\(z\)就變成了上面的情況。如果\(z\ge R\)，那么后手把最后那一堆拿成\(z+1\)，於是又回到了這種情況，相當於這種情況遞歸處理。如果先手先拿的是右側的這一堆，還是一樣的，假設把它拿成了\(z\)，如果\(z<R\)，同上可以變成\(x<L,x<R\)的情況；如果\(y=R\)，直接把左邊拿完，就變成了\(R[i][j-1]\)的定義了，先手必敗；如果\(z>R\)，把左邊那堆變成\(z-1\)，同樣遞歸處理。 - \(L<x<R\)
分析同上，\(L[i][j]=x+1\)。 - \(x>L,x>R\)
\(L[i][j]=x\)。還是一樣的，假設先手把其中一堆拿成了\(z\)。如果\(z>L,R\)，跟着先手拿成一樣多的石子則又回到了這種情況。如果\(z<L,R\)，則可以回到情況\(x<L,R\)。否則的話對應着把另外一堆變成\(z+1\)或者\(z-1\)，對應着\(L<x<R\)和\(R<x<L\)兩種情況。
而\(R[][]\)和\(L[][]\)是對稱的，類似的求解即可。
那么最終只需要判斷\(L[2][n]\)和\(a[1]\)是否相等即可判斷勝負情況。
代碼有點丑
#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
#define MAX 1010
inline int read()
{
int x=0;bool t=false;char ch=getchar();
while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-')ch=getchar();
if(ch=='-')t=true,ch=getchar();
while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-48,ch=getchar();
return t?-x:x;
}
int n,a[MAX],L[MAX][MAX],R[MAX][MAX];
int main()
{
int T=read();
while(T--)
{
n=read();
for(int i=1;i<=n;++i)a[i]=read();
for(int i=1;i<=n;++i)L[i][i]=R[i][i]=a[i];
for(int len=2;len<=n;++len)
for(int i=1,j=i+len-1;j<=n;++i,++j)
{
int x=a[j],l=L[i][j-1],r=R[i][j-1];
if(x==r)L[i][j]=0;
else if((x>l&&x>r)||(x<l&&x<r))L[i][j]=x;
else if(r<x&&x<l)L[i][j]=x-1;
else L[i][j]=x+1;
x=a[i],l=L[i+1][j],r=R[i+1][j];
if(x==l)R[i][j]=0;
else if((x>l&&x>r)||(x<l&&x<r))R[i][j]=x;
else if(r<x&&x<l)R[i][j]=x+1;
else R[i][j]=x-1;
}
puts(a[1]==L[2][n]?"0":"1");
}
}