[動態規划]石子合並問題

https://acm.sdut.edu.cn/onlinejudge2/index.php/Home/Contest/contestproblem/cid/3016/pid/1729

石子合並問題

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Problem Description

在一個圓形操場的四周擺放着n堆石子。現要將石子有次序地合並成一堆。規定每次只能選相鄰的2 堆石子合並成新的一堆，並將新的一堆石子數記為該次合並的得分。試設計一個算法，計算出將n堆石子合並成一堆的最小得分和最大得分。
對於給定n堆石子,計算合並成一堆的最小得分和最大得分。

Input

輸入數據的第1行是正整數n，1≤n≤100，表示有n堆石子。第二行有n個數，分別表示每堆石子的個數。

Output

輸出數據有兩行，第1行中的數是最小得分，第2行中的數是最大得分。

Sample Input

4
4 4 5 9

Sample Output

43
54

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算法考試考完了(題目有點簡單僥幸AK..),但這個問題當時困擾我了很久，網上解答的很模糊，因此還是在這里記錄一下吧。

這題的難點是：如果將環形轉換為直線（直線的網上有很多解答，這里不做贅述）。

其核心思想就是：通過將數量變為 2n-1 來轉換成直線問題。

當時看到這幾行字困惑了很久，一直不太理解，但之后畫圖就懂了。

 

1. 我們為了將環形變為直線，必須規定轉動順序，這里采用逆時針轉動，且以 i 作為起點，j作為終點。(右下圖）

2. 當規定好終點了，那么這環形有4種情況，我們求在這四種情況下最下的。(右上圖）

3. 關於轉換成直線，比如存在 a(0) -> b(1) -> c(2) -> d(3) 與 d(3) -> a(4) -> b(5) -> c(6)。

　　第一條是 i=0,j=3的數組，第二條是 i=3,j=6 的數組。 這樣，我們就不用返回去計算了( 3->0->1->2 ???)。

4. 四種情況分別是數組中的四行，每行最后一個代表遍歷的結果，我們最后只需要遍歷這四個值，找到最小值即可。

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源代碼：

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <algorithm>
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
int Arr[300],Sum[300];
int Min[300][300], Max[300][300];
int main() {
    int n;
    cin >> n;

    // 初始化數組
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> Arr[i];
        Arr[i + n] = Arr[i];
    }

    // 計算最大和
    for (int i = 1; i <= 2 * n; i++) {
        Sum[i] = Sum[i - 1] + Arr[i];
    }

    // 開始遞歸循環
    for (int i = 2 * n-1; i >= 1; i--) {
        for (int j = i + 1; j < i + n; j++) {
            Min[i][j] = INF;
            for (int k = i; k < j; k++) {
                Min[i][j] = min(Min[i][j], Min[i][k] + Min[k + 1][j] + Sum[j] - Sum[i - 1]);
                Max[i][j] = max(Max[i][j], Max[i][k] + Max[k + 1][j] + Sum[j] - Sum[i - 1]);
            }
        }
    }

    // 遍歷找到最大與最小值
    int MaxValue = 0, MinValue = INF;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        MaxValue = max(MaxValue, Max[i][i + n - 1]);
        MinValue = min(MinValue, Min[i][i + n - 1]);
    }

    cout << MinValue << endl << MaxValue << endl;

}