數學-n個互相獨立的連續隨機變量中第i小的數值期望

6.4.2020 updated：
現在回看了一下當時自己…哎……
整半天原來可以直接調用已有結論……加在文末了……

提出問題

有 \(n\) 個互相獨立的 \(0\) 至 \(1\) 之間等概率生成的隨機變量，求從小到大排序后第 \(i\) 個數的數值期望

一個簡化的問題

我們先來求解一個簡化的問題：最大值的數值期望是多少？

我們會發現，由於這些變量都是在 \(0\) 到 \(1\) 之間等概率生成的，所以一個變量小於等於 \(x\) 的概率為 \(x\)（即 \(P(x_0\leq x)=x\)），則這 \(n\) 個數中最大值為 \(x\) 的概率為 \(x^{n-1}\)（其他 \(n-1\) 個變量都小於等於 \(x\)）

再考慮到有 \(n\) 個數都有可能成為最大值，所以最后答案還要再乘\(\binom n1\)（實際上這個組合數應該放在原式的概率函數 \(p(x)\) 里的，但為了表達方便，我們將這個組合數提到最外面最后進行計算，后面的運算也是如此）

由於期望的計算公式為

\[E(x)=\sum_{k=1}^{+\infty}x_kp_k \]

套到這題里就是

\[\int_0^1x\cdot x^{n-1}\cdot \mathrm dx=\frac 1{n+1} \]

乘上組合數，得到這個簡化問題的答案為 \(\frac n{n+1}\)

擴展

我們現在求得了最大值（第 \(n\) 個數）的數值期望為 \(\frac n{n+1}\)，同理可以計算出最小數（第 \(1\) 個數）的數值期望為 \(\frac 1{n+1}\)，由期望的線性性大膽猜想第 \(i\) 個數的數值期望為 \(\frac i{n+1}\)

下面來證明這個式子

類比上面求最大值的解法，我們可以很容易地列出我們需要的式子

\[\int_0^1x\cdot x^{i-1}\cdot (1-x)^{n-i}\cdot \mathrm dx=\int_0^1 x^i(1-x)^{n-i}\cdot \mathrm dx \]

（第 \(i\) 個數為 \(x\) 的概率為前 \(i-1\) 個數都小於等於 \(x\)，后 \(n-i\) 個數都大於等於 \(x\)，則概率為 \(x^{i-1}\cdot (1-x)^{n-i}\)）

這個式子在最后還要乘一個 \(n\cdot \binom {n-1}{i-1}\)（\(n\) 個數都有可能成為第 \(i\) 個數，還要再選出小於等於 \(x\) 的 \(i-1\) 個數）

我們列出了式子，但這個式子並不像 \(x^n\) 這樣好積分；為此，我們考慮分部積分：

\[\int_a^b uv'\mathrm dx=uv|_a^b-\int_a^b vu'\mathrm dx \]

積分

明確目標，我們要求

\[\int_0^1 x^i(1-x)^{n-i}\cdot \mathrm dx \]

代 \(\begin{cases}u=(1-x)^{n-i}\\v'=x^i\end{cases}\)

則原式即為

\[\int_0^1uv'\cdot \mathrm dx=(uv)\big|_0^1-\int_0^1 u'v\cdot \mathrm dx \]

由於 \(uv\) 在 \(x=0\) 或 \(1\) 時都為零，則只需要考慮后面的式子即可：

\[-\int_0^1 u'v\cdot \mathrm dx \\ =\int_0^1 (n-i)(1-x)^{n-i-1}\frac 1{i+1}x^{i+1}\cdot \mathrm dx \\ =\frac {n-i}{i+1}\cdot \int_0^1x^{i+1}(1-x)^{n-i-1}\cdot \mathrm dx\]

數列

發現這個式子和原式長得很像，可以對比一下：

\[\int_0^1 x^i\cdot (1-x)^{n-i}\cdot dx\\ \int_0^1x^{i+1}(1-x)^{n-i-1}\cdot dx \]

設 \(a_i=\int_0^1 x^i(1-x)^{n-i}\cdot \mathrm dx\)，則可以得到一個有趣的遞推式 \(a_i=\frac {n-i}{i+1}\cdot a_{i+1}\)，而邊界條件即為一開始證明的式子 \(a_n=\frac n{n+1}\)

從而可以得到 \(a_i\) 的通項公式 \(a_i=\frac {i!(n-i)!}{(n+1)!}\)

所以前面那一長溜的積分式，可以化簡為 \(\frac {i!(n-i)!}{(n+1)!}\)

最后不要忘記之前提取出來的組合系數 \(n\cdot \binom {n-1}{i-1}\)

解得的答案為 \(\frac {i!(n-i)!}{(n+1)!}\cdot n\cdot \binom {n-1}{i-1}=\frac i{n+1}\)

猜想得證

結論

有 \(n\) 個互相獨立的 \(0\) 至 \(1\) 之間等概率生成的隨機變量，求從小到大排序后第 \(i\) 個數的數值期望為 \(\frac i{n+1}\)

可以推廣，若變量的生成范圍為 \([l,r]\)，則第 \(i\) 小數的數值期望為 \(l+\frac {i\cdot(r-l)}{n+1}\)

最近加了友鏈的一位同學知道一個比較簡單的組合解釋，果真還是老了啊

updated：\(\Gamma\) 函數與 \(B\) 函數

上面整這半天實際上可以用已有結論：

引入 \(Gamma\) 函數與 \(Beta\) 函數：

\[\Gamma(x)=\int_0^{+\infty}t^{x-1}e^{-t}dt \\ B(x,y)=\int_0^1t^{x-1}(1-t)^{y-1}dt \]

有幾個結論：

• \(\Gamma(1)=1\) 且 \(\Gamma(x+1)=x\Gamma(x)\)，故 \(\Gamma(x+1)=x!(x\in \mathbb Z)\)
• \(B(x,y)=\frac {\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}\)

然后考慮到之前關鍵求的是

\[\int_0^1 x^i(1-x)^{n-i}\cdot \mathrm dx=B(i+1,n-i+1) \]

然后直接套結論就好了……還是數學沒學好的說……（不過問了好幾位dalao都沒人提這玩意TAT）