高斯濾波對圖像方差有什么影響

均值與方差

首先回憶下均值和方差的定義，若存在\(n\)個數為\(x_1, x_2, \dots, x_n\)，則均值\(\mu\)為：

\[\mu = \frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n} \]

均值衡量的是數值集中在哪個數值附近。令標准差為\(\sigma\)，則方差\(\sigma^2\)為：

\[\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}(x_i - \mu)^2 \]

標准差用於衡量數值分布距離均值的平均距離，即數據的集中程度。

定性分析

定性地分析，高斯濾波（平滑）對圖像進行平滑，會讓當前像素與周圍像素更加接近，像素間更加接近自然方差會變小。從頻域角度，高斯濾波相當於低通濾波，會移除圖像中“突兀”的高頻成分，剩下的自然是相對“不突兀”的部分，反映在方差上就會變小。

定量分析

定量地看，若不對圖像進行任何假設，認為每個像素符合獨立同分布，其均值和方差分別為\(\mu\)和\(\sigma^2\)，對其進行高斯濾波，假定窗口內共有\(n\)個像素，灰度值為\(x_1, x_2, \dots, x_n\)，對應的高斯權重為\(g_1, g_2, \dots, g_n\)，有\(\sum_{i=1}^n g_i = 1, \forall g_i>0\)，則濾波后的當前像素的值為：

\[y = \sum_{i=1}^{n} g_i x_i \]

\(y\)的方差即：

\[Var(y) = Var(\sum_{i=1}^{n} g_i x_i)=Var(g_1 x_1 + g_2 x_2 +\dots+g_n x_n) \]

其中當高斯核確定后，\(g_1, g_2, \dots, g_n\)為常數，因為\(x_1, x_2, \dots, x_n\)相互獨立且同分布，則進一步地

\[Var(y) = g_1^2 Var(x_1)+g_2^2Var(x_2)+\dots+g_n^2Var(x_n)=\sigma_2 \sum_{i=1}^{n}g_i^2 \]

由上\(\sum_{i=1}^n g_i = 1, \forall g_i>0\)，\(\forall g_i <1\)，則\(\sum_{i=1}^{n}g_i^2 < 1\)，所以\(Var(y)=\sigma^2 \sum_{i=1}^{n}g_i^2 < \sigma^2\)，即經過高斯濾波后方差變小。

這里並不限於高斯濾波，對其他平滑濾波器同樣試用——只需滿足上述權重條件即可，即平滑濾波器將降低圖像的方差。

當然，也可以從連續角度分析，具體可見參考部分。

參考

• the variance of a linear combination
• How Does Gaussian Blur Affect Image Variance

出自本人博客：高斯濾波對圖像方差有什么影響