Armijo線性搜索

用“人話”解釋不精確線搜索中的Armijo-Goldstein准則及Wolfe-Powell准則

line search（一維搜索，或線搜索）是最優化（Optimization）算法中的一個基礎步驟/算法。它可以分為精確的一維搜索以及不精確的一維搜索兩大類。
在本文中，我想用“人話”解釋一下不精確的一維搜索的兩大准則：Armijo-Goldstein准則 ＆ Wolfe-Powell准則。
之所以這樣說，是因為我讀到的所有最優化的書或資料，從來沒有一個可以用初學者都能理解的方式來解釋這兩個准則，它們要么是長篇大論、把一堆數學公式丟給你去琢磨；要么是簡短省略、直接略過了解釋的步驟就一句話跨越千山萬水得出了結論。
每當看到這些書的時候，我腦子里就一個反應：你們就不能寫人話嗎？

我下面就嘗試用通俗的語言來描述一下這兩個准則。

【1】為什么要遵循這些准則

由於采用了不精確的一維搜索，所以，為了能讓算法收斂（即：求得極小值），人們逐漸發現、證明了一些規律，當你遵循這些規律的時候，算法就很有可能收斂。因此，為了達到讓算法收斂的目的，我們就要遵循這些准則。如果你不願意遵循這些已經公認有效的准則，而是要按自己的准則來設計算法，那么恭喜你，如果你能證明你的做法是有效的，未來若干年后，書本里可能也會出現你的名字。

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【2】Armijo-Goldstein准則

此准則是在196X年的時候由Armijo和Goldstein提出的，當然我沒有具體去搜過這倆人是誰。在有的資料里，你可能會看到“Armijo rule”（Armijo准則）的說法，可能是同一回事，不過，任何一個對此作出重要貢獻的人都是不可抹殺的，不是么？

Armijo-Goldstein准則的核心思想有兩個：①目標函數值應該有足夠的下降；②一維搜索的步長α不應該太小。

這兩個思想的意圖非常明顯。由於最優化問題的目的就是尋找極小值，因此，讓目標函數函數值“下降”是我們努力的方向，所以①正是想要保證這一點。

同理，②也類似：如果一維搜索的步長α太小了，那么我們的搜索類似於在原地打轉，可能也是在浪費時間和精力。

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有了這兩個指導思想，我們來看看Armijo-Goldstein准則的數學表達式：

其中，
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(1)為什么要規定這個條件？其實可以證明：如果沒有這個條件的話，將影響算法的超線性收斂性（定義看這個鏈接，第4條）。在這個速度至關重要的時代，沒有超線性收斂怎么活啊！(開個玩笑)
具體的證明過程，大家可以參考袁亞湘寫的《最優化理論與方法》一書，我沒有仔細看，我覺得對初學者，不用去管它。
(2)第1個不等式的左邊式子的泰勒展開式為：

去掉高階無窮小，剩下的部分為：
而第一個不等式右邊與之只差一個系數
我們已知了（這是為下降方向的充要條件），並且，因此，1式右邊仍然是一個比小的數，即：

也就是說函數值是下降的（下降是最優化的目標）。
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(3)由於且（是一個下降方向的充要條件），故第2個式子右邊比第1個式子右邊要小，即：

如果步長太小的話，會導致這個不等式接近於不成立的邊緣。因此，式2就保證了不能太小。
(4)我還要把很多書中都用來描述Armijo-Goldstein准則的一幅圖搬出來說明一下（親自手繪）：

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橫坐標是，縱坐標是，表示在均為常量、為自變量變化的情況下，目標函數值隨之變化的情況。
之所以說均為常量，是因為在一維搜索中，在某一個確定的點上，搜索方向確定后，我們只需要找到一個合適的步長就可以了。
當為常量，為自變量時，可能是非線性函數（例如目標函數為時）。因此圖中是一條曲線。
右上角的並不是表示一個特定點的值，而是表示這條曲線是以為自變量、為常量的函數圖形。
當時，函數值為，如圖中左上方所示。水平的那條虛線是函數值為的基線，用於與其他函數值對比。
那條線在下方（前面已經分析過了，因為），又在的下方（前面也已經分析過了），所以Armijo-Goldstein准則可能會把極小值點（可接受的區間）判斷在區間bc內。顯而易見，區間bc是有可能把極小值排除在外的（極小值在區間ed內）。
所以，為了解決這個問題，Wolfe-Powell准則應運而生。
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【3】Wolfe-Powell准則
在某些書中，你會看到“Wolfe conditions”的說法，應該和Wolfe-Powell准則是一回事——可憐的Powell大神又被無情地忽略了...
Wolfe-Powell准則也有兩個數學表達式，其中，第一個表達式與Armijo-Goldstein准則的第1個式子相同，第二個表達式為：

這個式子已經不是關於函數值的了，而是關於梯度的。
此式的幾何解釋為：可接受點處的切線斜率≥初始斜率的倍。
上面的圖已經標出了那條線（即點處的切線），而初始點（的點）處的切線是比點處的切線要“斜”的，由於，使得點處的切線變得“不那么斜”了——不知道這種極為通俗而不夠嚴謹的說法，是否有助於你理解。
這樣做的結果就是，我們將極小值包含在了可接受的區間內（點右邊的區間）。
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Wolfe-Powell准則到這里還沒有結束！在某些書中，你會看到用另一個所謂的“更強的條件”來代替(3)式，即：

這個式子和(3)式相比，就是左邊加了一個絕對值符號，右邊換了一下正負號（，）。
這樣做的結果就是：可接受的區間被限制在了內，如圖：

圖中紅線即為極小值被“夾擊”的生動演示。

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