ST表的原理及其實現

ST表類似樹狀數組，線段樹這兩種算法，是一種用於解決RMQ(Range Minimum/Maximum Query,即區間最值查詢)問題的離線算法

與線段樹相比，預處理復雜度同為O(nlogn),查詢時間上，ST表為O(1),線段樹為O(logn)

st表的主體是一個二維數組st[i][j]，表示需要查詢的數組的從下標i到下標i+2^j - 1的最值，這里以最小值為例

預處理函數：

int a[1010];//原始輸入數組
int st[1010][20];//st表

void init(int n)
{
    for (int i = 0; i < n; i++)
        st[i][0] = a[i];

    for (int j = 1; (1 << j) <= n; j++)
    {
        for (int i = 0; i + (1 << j) - 1 < n; i++)
            st[i][j] = min(st[i][j - 1],st[i + (1 << (j - 1))][j - 1]);
    }
}

這里首先把從0~n-1的2^0部分進行覆蓋，再往下繼承

繼承這里也很好理解，我們以一個長度為5的數組[5,1,2,3,4]為例

2^0部分覆蓋過去自然是5，4，3，2，1

2^1部分的長度為4，從0一直到3，因為從下標為4開始后面只有他自己

st[0][1]是下標為0~1的最小值，自然也就是st[0][0]和st[1][0]的最值

以此往下類推我們可以得出結論：

st[i][j] = min(st[i][j - 1],st[i + 2^(j - 1))][j - 1])

到這里初始化就完成了，注意下標不要越界，如果你對為什么這么處理有困惑的話，請繼續看查詢

查詢函數這里不太好理解

初始化時，每一個狀態對應的區間長度都為2^j，由於給出的查詢區間長度不一定恰好為2^j，

所以我們要引出一個定理：2^log(a)>a/2 。

https://blog.csdn.net/Hanks_o/article/details/77547380 這里有一段非常非常好理解的解釋，這里超級感謝原作者，我本人不能做出更好的解釋，他的講解是這樣的：

這個很簡單，因為log(a)表示小於等於a的2的最大幾次方。 
比如說log(4)=2,log(5)=2,log(6)=2,log(7)=2,log(8)=3,log(9)=3……. 
那么我們要查詢x到y的最小值。 
設len=y-x+1,t=log(len) 
根據上面的定理：2^t>len/2 
從位置上來說，x+2^t越過了x到y的中間！ 
因為位置過了一半 
所以x到y的最小值可以表示為min(從x往后2^t的最小值，從y往前2^t的最小值) 
前面的狀態表示為mn[t][x] 
設后面（從y往前2^t的最小值）的初始位置是k， 
那么k+2^t-1=y，所以k=y-2^t+1 
所以后面的狀態表示為mn[t][y-2^t+1] 
所以x到y的最小值表示為min(mn[t][x],mn[t][y-2^t+1])，所以查詢時間復雜度是O（1）

查詢函數：

int search(int l, int r)
{
    int k = (int)(log((double)(r - l + 1)) / log(2.0));
    return min(st[l][k],st[r - (1 << k) + 1][k]);
}

 示例程序：

#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

int a[1010];//原始輸入數組
int st[1010][20];//st表

void init(int n)
{
    for (int i = 0; i < n; i++)
        st[i][0] = a[i];

    for (int i = 1; (1 << i) <= n; i++)
    {
        for (int j = 0; j + (1 << i) - 1 < n; j++)
            st[j][i] = min(st[j][i - 1],st[j + (1 << (i - 1))][i - 1]);
    }
}

int search(int l, int r)
{
    int k = (int)(log((double)(r - l + 1)) / log(2.0));
    return min(st[l][k],st[r - (1 << k) + 1][k]);
}

int main()
{
    int n,m;
    while (cin >> n >> m)
    {
        for (int i = 0; i < n; i++)
            cin >> a[i];

        init(n);

        while (m--)
        {
            int l, r;
            cin >> l >> r;
            cout << search(l,r) << endl;;
        }
    }
    return 0;
}

 這里有一個HDU3183的例題大家可以移步看一下具體的使用

https://www.cnblogs.com/qq965921539/p/9609015.html