使用Excel繪制F分布概率密度函數圖表

使用Excel繪制F分布概率密度函數圖表

利用Excel繪制t分布的概率密度函數的相同方式，可以繪制F分布的概率密度函數圖表。
　　F分布的概率密度函數如下圖所示：
 

 
　　其中：μ為分子自由度，ν為分母自由度
　　Γ為伽馬函數的的符號
　　由於Excel沒有求F分布的概率密度函數可用，但是F分布中涉及到GAMMALN()函數，而excel是提供GAMMALN()函數的，所以我們可以使用excel中的GAMMALN()函數的運算來計算得到F分布的概率密度函數。（可參見【附錄】）
　　經轉換后上述公式為：
F(X,df1,df2)=EXP(GAMMALN((DF1+DF2)/2))*(DF1^(DF1/2))*(DF2^(DF2/2))*(X^(DF1/2-1))/EXP(GAMMALN(DF1/2))/EXP(GAMMALN(DF2/2))/((DF2+DF1*X)^((DF1+DF2)/2))
                         ……………………………………………………………公式（1）
　　現以分子自由度μ=20，分母自由度ν=20為例，求F分布的圖表，可由以下幾步進行：
　　第1步 在Excel單元格中輸入自變量
　　在A列中，在單元格A2中輸入0，在單元格A3中輸入0.1，遞增0.1，選中單元格A2與A3，按住右下角的填充控制點一直拖到單元格A46是4.4為止，A列的這些數據就作為隨機變量t的取值。
　　第2步 在單元格B2中輸入計算t分布的概率密度函數的公式
　　對於公式（1），由於自由度μ=20 ，ν=20則由DF1=20,DF2=20代入；自變量X就是單元格A2的值，所以按Excel相對引用的規則，X由A2代入即可，於是單元格B2內容是
=EXP(GAMMALN((20+20)/2))/(EXP(GAMMALN(20/2))*EXP(GAMMALN(20/2)))*(20/20)^(20/2)*A2^(20/2-1)*(1+20/20*A2)^(-1/2*(20+20))
　　第3步 復制公式
　　按住單元格B2右下角的填充控制點，向下一直拖曳到B46，將B2的公式填充復制到B列的相應的單元格。
　　第4步 作F分布概率密度函數圖表
　　選擇A1：B46，選“插入”-“圖表”-“散點圖”-“帶平滑線的散點圖”，輸入標題，調整字號、線型等格式，完成t分布概率密度函數圖，如圖-1所示：

圖-1

　　如將上圖的圖表類型換成二維面積圖，則如圖-2-1(2003版)和圖-2-2（2010版）所示：

圖-2-1

圖-2-2

　　如將上圖的圖表類型換成三維面積圖，則如圖-3-1（2003版）和圖-3-2（2010版）所示：

圖-3-1

圖-3-2

　　為 了方便調整不同的自由度參數值觀察圖形變化，在Excel數據表中可在第一行的某幾個單元格如I1、I2；J1、J2；K1、K2；L1、L2；M1、 M2輸入不同參數，然后在公式引用這幾個參數時使用不同的方式：列數據為相對引用，而行數據為絕對引用，如I$1、I$2；J$1、J$2；K$1、 K$2；L$1、L$2；M$1、M$2。而A列自變量值則使用：列數據為絕對引用，而行數據為相對引用，如$A4、$A5、$A6等。  
　　例：B4單元格的公式則為：
=EXP(GAMMALN((I$1+I$2)/2))*(I$1^(I$1/2))*(I$2^(I$2/2))*($A4^(I$1/2-1))/EXP(GAMMALN(I$1/2))/EXP(GAMMALN(I$2/2))/((I$2+I$1*$A4)^((I$1+I$2)/2))
　　這樣引用的公式可以直接拖曳復制B4：F48。
　　數據表輸入截圖如圖-4：

    
　　在公式輸入后，選擇單元格區間A3：F48，在同一圖表作出五種不同自由度的平滑曲線的散點圖，如圖-5所示： 

圖-5

　　【附錄：關於GAMMALN（）函數和EXP（）函數】
　　函數 GAMMALN 的計算公式如下： 
 

 
　　伽馬函數Γ（x）是個定積分，無法直接計算，可由GAMMALN（）函數和EXP（）函數，並利用對數恆等式：
 

 
　　間接求得，下面對以上內容使用Excel中的相關文字加以說明。
 GAMMALN函數的作用： 返回伽瑪函數Γ(x)的自然對數。 
 　　語法： 
　　GAMMALN(x)
　　 X為需要計算函數 GAMMALN 的數值。
　　 GAMMALN(x)=LN(Γ（x）)
　　說明： 
　　如果 x 為非數值型，函數 GAMMALN 返回錯誤值 #VALUE!。 
　　如果 x ≤ 0，函數 GAMMAIN 返回錯誤值 #NUM!。 
　　數字 e 的 GAMMALN(i) 次冪等於 (i-1)!，其中 i 為整數,常數 e 等於 2.71828182845904，是自然對數的底數。 
　　GAMMALN(8)=8.525161
　　EXP(GAMMALN(8))=5040=(8-1)!=FACT(7)
　　FACT(N)為返回N-1的階乘（N-1）！=1×2×3×4×…×(N-2)×(N-1)的函數（其中N為自然數）
　　關於EXP（）函數：
　　EXP（）返回 e 的 n 次冪。常數 e 等於 2.71828182845904，是自然對數的底數。
　　語法
　　EXP(number)
　　Number 為底數 e 的指數。
　　說明
　　若要計算以其他常數為底的冪，請使用指數操作符 (^)。 
　　EXP 函數是計算自然對數的 LN 函數的反函數。 
　　EXP(1)=2.718282（e的近似值）
　　EXP(2)=7.389056
　　EXP(1)=20.08554
　　EXP(LN(3))=3
　　於是為求伽馬函數Γ（x）首先要回憶一個最基本的恆等式：

　　即可得：

　　把該恆等式用於伽馬函數的取得，可以由以下兩步進行：
　　先用GAMMALN(x)，取得自然對數；http://www.cda.cn/view/18454.html
　　再用EXP(GAMMALN(x)),取得伽馬函數的值。