概率密度函數 通俗理解

一、總結

一句話總結：

概率密度函數就是x軸表示樣本情況，y軸表示頻率/組距，這樣x1,x2,y1,y2包的面積就是P{x1<=x<=x2}

 

1、概率密度函數 特點？

f(x)總是≥0

f(x)從負無窮到正無窮的積分為什么一定要是1，因為我們要保 證總的概率為1。

 

 

 

二、概率密度函數 通俗理解

轉自或參考：https://www.zhihu.com/question/263467674

 

首先考慮這樣一個問題，你點了一個外賣，外賣說會在兩個小時送達。那么送達的時間如下圖（本次問題不考慮你進行催單和其他特殊情況，請勿抬杠）

，若外賣在第30分鍾到60分鍾送達那么概率是多少呢？沒錯是（60-30）/120=1/4，我們是怎么判斷的呢？我們通過面積判斷 ，如下圖：（⚠️注意第二張圖與第一張圖相比，只是我標明了縱坐標而已，其他並沒有什么變化，而且其實我們知道縱坐標不影響目前我們求出概率，畢竟都是一樣的縱坐標）

上述面積直接可以看出來，然后用陰影面積比上總面積就可以了。但是，如果面積是這樣樣子的呢？

還是一樣嘛，還是面積之比。沒錯！只不過這里我們想要求面積要用到積分來求，既然要積分，總得給我個函數吧，不然不是在欺負老實人嗎。於是給你一個函數f(x)，你去分別積分，就可以求出面積了，最后一比就是概率了。

大家注意到了嗎？我的第二張圖和第三張圖的總面積都是1哦！，這就是玄妙所在。我們可以知道：第二張圖的f(x)如下

 

而第三張圖的就是默認的f(x)。這里大家根據第二張圖和第三張圖計算可以得出兩個結論

1 f（x）總是≥0

2 從負無窮到正無窮對f(x)積分面積始終為1

這里f(x)就是我們所說的概率密度函數，重點是⚠️我們一直所說的概率密度函數就是只我們想要求面積時候的那個圖形的表達式。（牢記這句話你就不會在概率密度函數上犯迷糊）

如果按照我們課本上面的直接上來就給你一個公式，如下

然后告訴你f(x)就是概率密度函數，我當時學習的時候也是很迷糊啊，憑什么就說f(x)是概率密度函數了，而且上來就是個積分（F(x)為分布范圍）。

現在我們知道了：1. f(x)>=0是因為不管啥時候概率不能是負的吧

2. f(x)從負無窮到正無窮的積分為什么一定要是1，因為我們要保 證總的概率為1。通過這兩個條件我們給出了概率密度函數的限定條件。

另外給出兩個常見概率密度函數圖像及其分布函數的圖像

 

 

 

你可以看到f(x)是不是都滿足上述兩個條件。