二叉樹順序存儲和鏈式存儲的C語言代碼實現

二叉樹是在樹的基礎上對本身的結構做了更高的限制：

1. 二叉樹本身是有序樹。
2. 二叉樹中各結點的度最多是 2，可以是 0，1，2。

 

圖1 二叉樹

滿二叉樹和完全二叉樹

如果二叉樹中除了葉子結點，每個結點的度都為 2，那么此二叉樹為滿二叉樹。例如圖 1 就是一個滿二叉樹。

如果二叉樹除了最后一層外為滿二叉樹，最后一層的結點依次從左到右分布，此二叉樹為完全二叉樹。

  （A）                                                                  （B）

圖2 完全二叉樹
 

圖 2（A）和（B）都是二叉樹，但圖 2（A）是完全二叉樹，（B）由於最后一層不符合從左往右依次分布的要求，所以不是完全二叉樹，只是一個普通的二叉樹。

二叉樹的性質

二叉樹有以下幾個性質：

1. 二叉樹中，第 i 層最多有2^(i-1)個結點。
2. 如果二叉樹的深度為 K，那么此二叉樹最多有2^K - 1個結點。
3. 二叉樹中，終端結點數（葉子結點數）為 n₀，度為 2 的結點數為 n₂，則n0 = n2 + 1。

性質 3 的計算方法為：

對於一個二叉樹來說，除了度為 0 的葉子結點和度為 2 的結點，剩下的就是度為 1 的結點（設為 n₁），那么總結點n = n0 + n1 + n2。
同時，對於每一個結點來說都是由其父結點分支表示的，假設樹中分枝數為 B，那么總結點數n = B + 1。而分枝數是可以通過 n₁ 和 n₂ 表示的:B = n1 + 2 * n2。
所以，n 用另外一種方式表示為:n=n1+2*n2+1。
兩種方式得到的 n 值組成一個方程組，就可以得出n0 = n2 + 1。

完全二叉樹特有的性質

n 個結點的完全二叉樹的深度為[log2n]+1。

　　證明過程：

　　　　　　對於滿二叉樹來說，k層總的節點個數n = 2^k - 1；則k = log₂ (n + 1); 同理，對於倒數第二層以上的滿二叉樹的節點個數為2^(k - 1) - 1，對於完全二叉樹來說，節點個數 2^(k - 1) - 1 < n <=2^k - 1，  由於n是整數，因此上式可以看成2^(k - 1) <= n < 2^k；故 k - 1 <= log₂ n < k；因此，k = [log₂ n](取下限) + 1；

[log₂n]表示取小於log₂n的最大整數。例如，[log₂4] = 2,而 [log₂5] 結果也是 2。

對於任意一個完全二叉樹來說，將含有的結點按照層次從左到右依次標號（如圖 2（A）），對於任意一個結點 i ，有以下幾個結論：

• 當 i > 1時，父親結點為結點 [i / 2] 。（ i = 1時，表示的是根結點，無父親結點）
• 如果 2*i > n ，則結點 i 肯定沒有左孩子（為葉子結點）；否則其左孩子是結點 2*i 。
• 如果 2*i +1 > n ，則結點 i 肯定沒有右孩子；否則右孩子是結點 2*i +1 。

二叉樹和完全二叉樹的各自所特有的性質，需要熟記，在對其進行存儲以及利用二叉樹解決問題時，會經常用到。

二叉樹的存儲結構

二叉樹有兩種存儲結構：順序存儲結構和鏈式存儲結構。

順序存儲

借用數組將二叉樹中的數據元素存儲起來。此方式只適用於完全二叉樹，如果想存儲普通二叉樹，需要將普通二叉樹轉化為完全二叉樹。

使用數組存儲完全二叉樹時，從數組的起始地址開始，按層次順序從左往右依次存儲完全二叉樹中的結點。當提取時，根據完全二叉樹的第 2 條性質，可以將二叉樹進行還原。

例如，存儲圖 2（A）時，數組中存儲為：



根據完全二叉樹的第 2 條性質就可以根據數組中的數據重新搭建二叉樹的結構。

如果普通二叉樹也采取順序存儲的方式，就需要將其轉化成完全二叉樹，然后再存儲，例如：

 轉化前                              轉化后

圖 3 普通二叉樹轉完全二叉樹

圖 3 中，轉化后的二叉樹中，數據元素 0 表示此位置沒有數據。將轉化后的完全二叉樹按照層次並從左到右的次序存儲到數組中：



由此可見。深度為 K 且只有 K 個結點的單支樹（樹中不存在度為 2 的結點），需要 2K-1 的數組空間，浪費存儲空間。所以，順序存儲方式更適用於完全二叉樹。

鏈式存儲

采用鏈式存儲結構存儲二叉樹，就非常容易理解了。根據每個結點的結構，至少需要 3 部分組成：

圖5 二叉鏈表結點構成

圖 5 中，Lchild 代表指向左孩子的指針域；data 為數據域；Rchild 代表指向右孩子的指針域。使用此種結點構建的二叉樹稱為“二叉鏈表”。

結點結構代碼表示：

typedef struct BiTNode{
    TElemType data;//數據域
    struct BiTNode *lchild,*rchild;//左右孩子指針
}BiTNode,*BiTree;

 

 

如果程序中需要頻繁地訪問結點的父結點，就可以使用下面這種結點結構：

圖 6 三叉鏈表結點構成

圖 6 中，Lchild 指向左孩子；Rchild 指向右孩子；data 為數據域；parent 指向父結點。使用這種結構的結點創建的樹稱為“三叉鏈表”。

結點結構代碼表示：

typedef struct BiTNode{
    TElemType data;//數據域
    struct BiTNode *lchild,*rchild;//左右孩子指針
    struct BiTNode *parent;
}BiTNode,*BiTree;

 

例如，分別用兩種結點創建圖 3 中的單支樹：
 

圖7 單支樹示意圖

實現代碼（以二叉鏈表為例）

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#define TElemType int

typedef struct BiTNode{
    TElemType data;//數據域
    struct BiTNode *lchild,*rchild;//左右孩子指針
}BiTNode,*BiTree;

void CreateBiTree(BiTree *T){
    *T=(BiTNode*)malloc(sizeof(BiTNode));
    (*T)->data=1;
    (*T)->lchild=(BiTNode*)malloc(sizeof(BiTNode));
    (*T)->rchild=NULL;
    (*T)->lchild->data=2;            
    (*T)->lchild->lchild=(BiTNode*)malloc(sizeof(BiTNode));
    (*T)->lchild->rchild=NULL;
    (*T)->lchild->lchild->data=3;
    (*T)->lchild->lchild->lchild=NULL;
    (*T)->lchild->lchild->rchild=NULL;
}
int main() {
    BiTree Tree;
    CreateBiTree(&Tree);
    printf("%d",Tree->lchild->lchild->data);
    return 0;
}

 

運行結果：

3

總結

對於二叉樹和完全二叉樹的性質，需要學員在理解的情況下進行記憶。有關二叉樹存儲結構的選擇，以及結點結構的選擇，要視情況而定，基本上遵循以下兩個原則：

1. 如果是普通二叉樹，用鏈式存儲結構；如果是完全二叉樹，用順序存儲結構。
2. 如果問題中涉及到要訪問某結點的父結點，就建立三叉鏈表；反之，使用二叉鏈表即可解決問題。