鄰接矩陣-建立圖

1.介紹圖的相關概念

　　圖是由頂點的有窮非空集和一個描述頂點之間關系-邊（或者弧）的集合組成。通常，圖中的數據元素被稱為頂點，頂點間的關系用邊表示，圖通常用字母G表示，圖的頂點通常用字母V表示，所以圖可以定義為:

　　G=(V,E)

其中，V(G)是圖中頂點的有窮非空集合，E(G)是V(G)中頂點的邊的有窮集合

1.1 無向圖：圖中任意兩個頂點構成的邊是沒有方向的

1.2 有向圖：圖中任意兩個頂點構成的邊是有方向的，通常有向圖的邊也稱之為弧

1.3 完全圖：圖中任意一個頂點與其他節點之間都有邊

1.4 稠密圖、稀疏圖：一個圖接近完全圖稱為稠密圖，邊數很少的圖稱為稀疏圖

1.6 頂點的度：依附於某頂點的邊數稱為該頂點的度，在有向圖中，以頂點為終點的弧的數目為該頂點的入度，以該點為始點的弧數為該頂點的出度

1.7 權：圖中與邊或弧有關的數據信息

1.8 網：邊上帶權的圖稱為網或帶權圖

1.9 路徑、路徑長度:無向圖中，從任意一點到另一點所經過的頂點序列稱為路徑，路徑上的邊數稱為路徑長度

2.0 簡單路徑、簡單回路、回路：一條路徑中，若路徑序列中所有頂點除起始點和中止點之外，彼此都不同，則該路徑為簡單路徑。簡單路徑中的起始點與中止點相同，該路徑為簡單回路。如果路徑序列中起始點與中止點相同，則該路徑為回路或者環。

2.1 連通、連通圖：無向圖中，某兩頂點之間有路徑，則稱這兩個頂點是連通的。如果圖中任意兩頂點都是連通的，則該無向圖為連通圖，否則為非連通圖。

2.2 極大連通子圖、連通分量：如果在向無向連通圖中加入原圖的任何一個頂點，子圖就不連通，則為極大連通分量。無向連通圖中的極大連通子圖稱為該無向圖的連通分量。/在有向圖中若任意兩頂點存在兩條弧（一個入度一個出度），則稱為強連通圖，強連通分量同理。

圖G的三個連通分量：

 

2.圖的存儲

鄰接矩陣是表示頂點間相鄰關系的矩陣，無向圖中，如果兩頂點有邊，則G[i][j] = G[j][i] = 1,反之為0,有向圖中G[i][j] = 1,但是G[j][i] 未必等於1

也可以表示帶權圖，即將1換位權值即可

程序：

//建立圖的鄰接矩陣算法程序 /有向圖，無權值，兩頂點之間有邊就用1表示，無邊用0表示 
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#define MAX_VEX 100 

int creatcost(int cost[][MAX_VEX])             //*cost數組表示所有帶權圖的鄰接矩陣 
{
    int vexnum,arcnum,i,j,k,v1,v2;             //輸入圖的頂點數和邊數（或弧數）

    printf("\n請輸入頂點數，邊數:\n");
    scanf("%d %d",&vexnum,&arcnum);
    for(i = 1;i <= vexnum;i++)                 //初始化帶權圖的鄰接矩陣
        for(j = 1;j <= vexnum;j++)
            cost[i][j] = 0;                    //0表示無窮大
    //memset(cost,0,vexnum*vexnum);            //也可以使用memset()函數進行初始化，將整個矩陣置0，需要有文件string.h 
    for(k = 0;k < arcnum;k++)
    {
        printf("v1,v2= ");
        scanf("%d %d",&v1,&v2);
        cost[v1][v2] = 1;
        //cost[v2][v1] = 1;                    //若建立無向圖的鄰接矩陣就應該加上這句話 
    } 
    
    return vexnum; 
}

int main()
{
    int i,j,vexnum;
    int cost[MAX_VEX][MAX_VEX];
    vexnum = creatcost(cost);
    printf("所建圖的鄰接矩陣為:\n");
    for(i = 1;i <= vexnum;i++)
    {
        for(j = 1;j <= vexnum;j++)
            printf("%3d",cost[i][j]);
        printf("\n");
    }
    
    return 0;
}

鄰接矩陣存儲其實有一些問題，對於邊數相對頂點較少的圖，這種存儲結構對存儲空間存在極大的浪費