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$\sum \sqrt {a_i}$
一些基本概念
本篇文章講解了計算機的原碼、反碼和補碼，並且進行了深入探求了為何要使用反碼和補碼，以及更進一步的論證了為何可以用反碼、補碼的加法計算原碼的減法。論證部分如有不對的地方請各位牛人幫忙指正！
以下討論的都以計算機字長8位討論（現在使用的計算機字長一般為32位，64位）
機器數和符號位
在學習原碼、反碼和補碼之前，需要先了解
機器數和真值的概念。
一個數在計算機中的二進制表示形式, 叫做這個數的機器數。
機器數是帶符號的，
在計算機用一個數的最高位存放符號, 正數為0、負數為1。
比如，十進制中的數 +3 ，如果計算機字長為8位，轉換成二進制就是0000_0011。如果是 -3 ，就是 1000_0011(原碼) 。
那么，這里的 0000_0011 和 1000_0011(原碼) 就是機器數。
真值
因為第一位是符號位，所以機器數的形式值就不等於真正的數值。例如上面的有符號數 1000_0011，其最高位1代表負，其真正數值是 -3，而不是形式值131（10000011轉換成十進制等於131）。所以，為區別起見，
將帶符號位的機器數對應的真正數值稱為機器數的真值。
例：0000_0001的真值 =
+000_0001 = +1，1000_0001的真值 = –000_0001 = –1
在探求為何機器要使用補碼之前，讓我們先了解原碼、反碼和補碼的概念。
對於一個數，計算機要使用一定的編碼方式進行存儲，
原碼、反碼、補碼是機器存儲一個具體數字的編碼方式。
原碼
如果機器字長為n，那么一個數的原碼就是用一個n位的二進制數，其中最高位為符號位：正數為0，負數為1。剩下的n-1位表示該數的絕對值。
例如：
X=+101011 , [X]原= 0010_1011
X=-101011 , [X]原= 1010_1011
位數不夠的用0補全。
PS：正數的原、反、補碼都一樣，0的原碼跟反碼都有兩個，因為這里0被分為+0和-0。
另一種描述：
原碼就是符號位加上真值的絕對值，即用第一位表示符號，其余位表示值。比如如果是8位二進制：
[+1]原 = 0000_0001
[-1]原 = 1000_0001
因為第一位是符號位，所以8位二進制數的取值范圍就是：
[1
111_1111 , 0111_1111] 即 [-127 , 127]
注意不是 [-128 , 127] 或 [-128 , 128]
原碼是人腦最容易理解和計算的表示方式。
反碼
反碼的表示方法是：
正數的反碼是其本身。負數的反碼是在其原碼的基礎上，【符號位不變】，其余各個位【取反】。
[+1] = [0000_0001]原 = [0000_0001]反
[-1] = [1000_0001]原 = [1111_1110]反
可見如果一個反碼表示的是負數，人腦無法直觀的看出來它的數值，通常要將其轉換成原碼再計算。
補碼
補碼的表示方法是：
正數的補碼就是其本身。負數的補碼是在其原碼的基礎上，【符號位不變】，其余各位取反，最后+1，即【取反+1】。
[+1] = [0000_0001]原 = [0000_0001]反 = [0000_0001]補
[-1] = [1000_0001]原 = [1111_1110]反 = [1111_1111]補
對於負數，補碼表示方式也是人腦無法直觀看出其數值的，通常也需要轉換成原碼再計算其數值。
以上概念其實很好理解，就是一些規則而已，但問題是，為什么要制定這些規則呢？下面我們就來探討探討這個問題。
為何要使用原碼、反碼和補碼
現在我們知道了，計算機可以有三種編碼方式表示一個數，
對於正數因為三種編碼方式的結果都相同，所以不需要過多解釋。但是
對於負數，其原碼、反碼和補碼是完全不同的。既然原碼才是被人腦直接識別並用於計算表示方式，為何還會有反碼和補碼呢?
首先，希望能用符號位代替減法...
首先，因為人腦可以知道第一位是
符號位，在計算的時候我們會根據符號位選擇對真值區域的加減。
但是對於計算機，加減乘數是最最最最基礎的運算，要設計的盡量簡單，
計算機辨別"符號位"會讓計算機的基礎電路設計變得復雜，於是，人們想出了將符號位也參與運算的方法。
我們知道，根據運算法則，減去一個正數等於加上一個負數，即：1-1 = 1 + (-1)，
所以機器可以只有加法而沒有減法，這樣計算機運算的設計就更簡單了。
但是，用原碼計算時有一些問題...
於是人們就開始探索將符號位參與運算並且只保留加法的方法。
首先來看原碼：
1 - 1 = 1 + (-1) = [0000_0001]原 + [1000_0001]原 = [1000_0010]原 = -2
如果用原碼表示, 讓符號位也參與計算，顯然對於減法來說結果是不正確的。
這也就是為何計算機內部不使用原碼表示一個數。
PS：
對於上一句話，白哥要打一個大大的問號？雖說包括Java、C在內的很多編程語言，在設計整型時，其定義都是：
【8/16/32/64-bit signed two's complement integer】
即：
【8/16/32/64位有符號二進制補碼整數】
但也不能說計算機內部不是采用原碼表示的吧？於是，反碼出現了，但還有問題...
為了解決原碼做減法的問題，出現了反碼：
1 - 1 = 1 + (-1) = [0000_0001]原 + [1000_0001]原= [0000_0001]反 + [1111_1110]反 = [1111_1111]反
= [1000_0000]原 = -0
發現用反碼計算減法，結果的
真值部分是正確的，而唯一的問題其實就出現在"0"這個特殊的數值上。雖然人們理解上+0和-0是一樣的，但是0帶符號是沒有任何意義的，而且會有[0000_0000]原和[1000_0000]原兩個編碼表示0。
補碼解決了遺留的這個問題..
於是補碼出現了，它解決了0的符號以及兩個編碼的問題：
1-1 = 1 + (-1) = [0000_0001]原 + [1000_0001]原 = [0000_0001]補 + [1111_1111]補 = [0000_0000]補
=[0000_0000]原 = 0
這樣0用[0000_0000]表示， 而以前出現問題的-0則不存在了。
並且，還有意外收獲..
除此之外，還可以用 [1000_0000]
補 表示-128：
(-1) + (-127) = [1000_0001]原 + [1111_1111]原 = [1111_1111]補 + [1000_0001]補 = [1000_0000]補
-1-127的結果應該是-128，在用補碼運算的結果中， [1000_0000]
補 就代表-128。
注意，
-128並沒有原碼和反碼表示。
使用補碼不僅僅修復了0的符號以及存在兩個編碼的問題，而且還能夠多表示一個最低數，這就是為什么8位二進制使用原碼或反碼表示的范圍為 [-127, +127]，而使用補碼表示的范圍為 [-128, 127] 的原因。
因為機器使用補碼，所以對於編程中常用到的32位int類型可以表示范圍是 [-2^31, 2^31-1] ，因為第一位表示的是符號位，而使用補碼表示時又可以多保存一個最小值。
從數學角度深究原碼、反碼、補碼
警告：以下因為涉及到數學原理性的問題，個人不保證絕對正確，且極有可能出現一些原理性錯誤，請謹慎對待！
計算機巧妙地把符號位參與運算，並且將減法變成了加法，背后蘊含了怎樣的數學原理呢？
將
鍾表想象成是一個1位的12進制數，如果當前時間是6點，我希望將時間設置成4點，需要怎么做呢？我們可以：
1. 往回撥2個小時: 6 - 2 = 4
2. 往前撥10個小時: (6 + 10) mod 12 = 4
3. 往前撥10+12=22個小時: (6+22) mod 12 =4
2,3方法中的mod是指取模操作，16 mod 12 = 4 即用16除以12后的余數是4。
所
以鍾表往回撥(減法)的結果可以用往前撥(加法)替代！
現在的焦點就落在了如何用一個正數來替代一個負數。
上面的例子我們能感覺出來一些端倪，發現一些規律。但是數學是嚴謹的，不能靠感覺。
首先介紹一個數學中相關的概念：同余
同余的概念
兩個整數a、b，若它們除以整數m所得的余數相等，則稱a，b對於模m同余
記作 a ≡ b (mod m)
讀作 a 與 b 關於模 m 同余。
舉例說明：
4 mod 12 = 4
16 mod 12 = 4
28 mod 12 = 4
所以4, 16, 28關於模 12 同余。
負數取模的計算
正數進行mod運算是很簡單的，但是負數呢？
下面是關於mod運算的數學定義：
上面是截圖，下面是使用"["和"]"替換上圖的"取下界"符號：
x mod y = x - y [ x / y ]
上面公式的意思是:
x mod y 等於 x 減去 y 乘上
x與y的商的下界
以 -3 mod 2 舉例:
-3 mod 2
= -3 - 2*[-3/2]
= -3 - 2*[-1.5]
= -3 - 2*(-2)
= -3 + 4
= 1
所以：
(-2) mod 12 = 12-2 =10 (-4) mod 12 = 12-4 = 8 (-5) mod 12 = 12 - 5 = 7 數學證明
再回到時鍾的問題上：
回撥2小時 = 前撥10小時 回撥4小時 = 前撥8小時 回撥5小時= 前撥7小時
注意這里發現的規律！
結合上面學到的同余的概念，實際上:
(-2) mod 12 = 10
10 mod 12 = 10
-2與10是同余的
(-4) mod 12 = 8
8 mod 12 = 8
-4與8是同余的
距離成功越來越近了
，要實現用正數替代負數，只需要運用同余數的兩個定理：
反身性：
a ≡ a (mod m)
這個定理是很顯而易見的。
線性運算定理：
如果a ≡ b (mod m)，c ≡ d (mod m) 那么: (1)a ± c ≡ b ± d (mod m) (2)a * c ≡ b * d (mod m)
如果想看這個定理的證明, 請看:
http://baike.baidu.com/view/79282.htm
所以：
7 ≡ 7 (mod 12)
(-2) ≡ 10 (mod 12)
7 -2 ≡ 7 + 10 (mod 12)
現在我們為一個負數找到了它的正數同余數，但是並不是 7-2 = 7+10，而是 7 -2 ≡ 7 + 10 (mod 12)，即計算結果的余數相等。
接下來回到二進制的問題上，看一下：2-1=1的問題。
2-1=2+(-1) = [0000 0010]原 + [1000 0001]原= [0000 0010]反 + [1111 1110]反
先到這一步，-1的反碼表示是1111 1110，如果這里將[1111 1110]認為是原碼，則[1111 1110]
原 = -126，這里將符號位除去，即認為是126。
發現有如下規律:
(-1) mod 127 = 126
126 mod 127 = 126
即:
(-1) ≡ 126 (mod 127)
2-1 ≡ 2+126 (mod 127)
2-1 與 2+126的余數結果是相同的！而這個余數，正式我們的期望的計算結果：2-1=1
所以說一個數的反碼，實際上是這個數對於一個膜的同余數；而這個膜並不是我們的二進制，而是所能表示的最大值！
這就和鍾表一樣，轉了一圈后總能找到在可表示范圍內的一個正確的數值！
而2+126很顯然相當於鍾表轉過了一輪，而因為符號位是參與計算的，正好和溢出的最高位形成正確的運算結果。
既然反碼可以將減法變成加法，那么現在計算機使用的補碼呢？為什么在反碼的基礎上加1還能得到正確的結果？
2-1=2+(-1) = [0000 0010]原 + [1000 0001]原 = [0000 0010]補 + [1111 1111]補
如果把[1111 1111]當成原碼，去除符號位，則：
[0111 1111]原 = 127
其實，在反碼的基礎上+1，只是相當於增加了膜的值：
(-1) mod 128 = 127
127 mod 128 = 127
2-1 ≡ 2+127 (mod 128)
此時，表盤相當於每128個刻度轉一輪，所以用補碼表示的運算結果最小值和最大值應該是[-128, 128]。
但是由於0的特殊情況，沒有辦法表示128，所以補碼的取值范圍是[-128, 127]