預備知識
二進制，十六進制，二進制與十進制的轉化運算
根據馮諾依曼結構的運算器，只有加法運算器，沒有減法運算器
所以，計算機中不是直接做減法，是通過加法來實現的。所以就必須引入一個符號位
原碼，反碼，補碼 的產生就是為了解決這個問題
原碼
最簡單的機器數表示法
原碼：
最高位表示符號位，1表示負，0表示正
其他位存放該數的二進制的絕對值
直接用原碼運算
0001+0010=0011 （1+2=3）正確
0000+1000=1000 （(+0)+(-0)=-0）
0001+1001=1010 （1+（-1）=-2）出錯
1001+1001= ？
原碼正數之間的加法通常不會出錯
正數與負數相加，或負數與負數相加，問題就出現了
所以，原碼直觀易懂，易於正值轉換，但用來實現加減法的話，運算規則總歸是太復雜，於是反碼來了
反碼
原碼最大的問題就在於一個數加上他的相反數不等於零，反碼的設計思想就是為了解決這一點
反碼：
正數的反碼=原碼
負數的反碼=原碼除符號位外，按位取反
我們試着用反碼運算
0001+1110=1111 (1+(-1)=(-0)) 有點問題，也正確
1110+1101=1011 (-1)+(-2)=(-4) 兩個負數相加，出錯
負數相加出錯，問題不大，我們只需要在兩個負數相加時，將兩個負數反碼包括符號位全部按位取反相加，然后再給他的符號位強置‘1’就可以了。
反碼表示法其實已經解決了減法的問題，他不僅不會像原碼那樣出現兩個相反數相加不為零的情況，而且對於任意的一個正數加負數，計算結果是正確的
然后就有了補碼
補碼
補碼：
正數的補碼=原碼
負數的補碼=反碼+1
負數的補碼的另外一種算法:
自低位向高位，尾數第一個1及其右部的0保持不變，左部取反，符號位不變
其實上面兩段話，都只是補碼的求法，而不是補碼的定義，基礎工作者並不會心血來潮的把反碼+1就定義為補碼，只不過是補碼正好就等於反碼加1罷了
暫時先忘記書上那句負數的補碼等於它的反碼+1，我們的理解陷入了誤區
這也是為什么《計算機組成原理》要特意先講補碼，再講反碼
接下來我們要重點講講補碼的思想
補碼的思想
為了理解，先得引入模和同余的思想
模 其實就是一個計量器的容量大小，比如鍾表的模M=12
同余 是指兩個整數A和B除以同一個正整數M，所得余數相同，比如1點和13點，2點和14點就是同余的，可以寫作
1 = 13 mod (12), 2 = 14 mod (12)
如果說現在時針現在停在10點鍾，那么什么時候時針會停在8點鍾呢？
這么說吧，因為過去2個小時前是8點，所以未來10個小時候也是8點
也就是說：倒撥2小時 或 正撥10小時 都是八點鍾
10-2=8,(10+10)mod(12)=8
所以，10-2和10+10從另一個角度來看是等效的，它都使時針指向了8點鍾
既然是等效的，那在時鍾運算中，減去一個數，其實就相當於加上另外一個數（這個數與減數相加正好等於12，也就是同余數）
我再次強調，原碼，反碼，補碼的引入是為了解決做減法的問題。在原碼，反碼表示法中，我們把減法化為加法的思維是減去一個數，等於加上一個數的相反數，結果由於引入符號位造成了各種問題
那你應該知道我要說什么了，利用模和同余的概念，我們可以使減法運算轉化為加法運算
而現在，我們不引入負數的概念，就可以把減法當成加法來算
所以接下來我們聊4位二進制數的運算，也不必急於引入符號位。因為補碼的思想，把減法當成加法時並不是必須要引入符號位的。
而且我們可以通過下面的例子，也許能回答另一個問題，為什么負數的符號位是‘1’，而不是正數的符號位是‘1’
四位二進制補碼運算實例
0110 - 0010 (6-2=4) 計算機中沒有減法器,不能直接算
但是現在你知道，減去一個數，可以等同於加上另外一個正數（同余數）
那么這個數是什么呢？時鍾運算中我們可以看出這個數與減數相加正好等於模M=12
四位二進制數的模(計量器)=四位二進制數最大容量=2^4=16=10000B
那么2(0010)的同余數，就等於10000-0010=1110（14）
既然如此
0110(6) - 0010(2) = 0110(6) + 1110(14) = 10100(16+4=20)
OK，我們看到按照這種算法得出的結果是10100，但是對於四位二進制數，最大只能存放4位（硬件決定），正好是0100(4)，就是我們想要的結果，至於最高位的 1，計算機會把他放入psw寄存器進位位中。8位機則會放在cy中，x86會放在cf中（不作討論）
這個時候，我們再想想在四位二進制數中，減去2，就相當於加上它的同余數14
但是減去2，從另外一個角度來說，也是加上（-2）。即加上（-2）和加上14其實得到的二進制結果除了進位位，結果是一樣的。
如果我們把1110（14）的最高位看作符號位后就是（-2）的補碼，這可能也是為什么負數的符號位是‘1’而不是‘0’，
而且在有符號位的四位二進制數中，能表示的只有‘-8~7’，而無符號位數（14）的作用和有符號數（-2）的作用效果其實是一樣的。
那正數的補碼呢？加上一個正數，加法器就直接可以實現。所以它的補碼就還是它本身。
到這里，我們發現原碼，反碼的問題，補碼基本解決了。
做減法時，0001（1）+1111（-1）=0000，我們再也不需要一個1000來表示負0了，就把1000規定為-8
負數與負數相加的問題也解決了1111（-1）+1110（-2）=1101(-3)
為什么可以+1
然后我們再來看看為什么負數的補碼的求法為什么是反碼+1
因為負數的反碼加上這個負數的絕對值正好等於1111，再加1，就是1000，也就是四位二進數的模
而負數的補碼是它的絕對值的同余數，可以通過模減去負數的絕對值，得到他的補碼。
所以，負數的補碼就是它的反碼+1
算補碼的小技巧
如果我們把-8當成負數的原點。那么-5的補碼是多少呢？
-5 = -8 + 3
-5的補碼就是-8的補碼加3
1000(-8) + 0011(3) = 1011(-5)
也可以記住-1的補碼是1111口算減法得出
1111(-1) - 0100(4) = 1011(-5)
對於八位加法器的話，可以把-128當補碼原點。十六位可以把-32768當補碼原點。
是的，128是256（八位二進制數的模）的一半，32768是65536（十六位二進數的模）的一半
也很方便有沒有，而且簡單的是
補碼原點總是最高位是‘1’，其他位是‘0’
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