計算機原理之二進制中的“原碼”, “反碼”, “補碼”理解

一. 機器數和真值

　　在學習原碼, 反碼和補碼之前, 需要先了解機器數和真值的概念.

• 機器數（一個數在計算機中的二進制表示形式,）

  機器數是帶符號的，在計算機用一個數的最高位存放符號, 正數為0, 負數為1。比如，十進制中的數 +3 ，計算機字長為8位，轉換成二進制就是00000011。如果是 -3 ，就是 10000011 。

    3 的機械數 = 00000011，
  -3 的機械數 = 10000011

• 真值（將帶符號位的機器數對應的真正數值稱為機器數的真值）

  因為第一位是符號位，所以機器數的形式值就不等於真正的數值。例如上面的有符號數 10000011，其最高位1代表負，其真正數值是 -3 而不是形式值131（10000011轉換成十進制等於131）。所以，為區別起見，將帶符號位的機器數對應的真正數值稱為機器數的真值。
  例如：
  

  0000 0001  的真值  = +000 0001  =   +1，
  1000 0001  的真值   = -000 0001  =  -1 

二. 原碼, 反碼, 補碼的基礎概念和計算方法.

　　在探求為何機器要使用補碼之前, 讓我們先了解原碼, 反碼和補碼的概念.對於一個數, 計算機要使用一定的編碼方式進行存儲. 原碼, 反碼, 補碼是機器存儲一個具體數字的編碼方式.

• 1.原碼

  　　原碼就是符號位加上真值的絕對值, 即用第一位表示符號, 其余位表示值. 比如如果是8位二進制:

  [+1]_原 = 0000 0001

  [-1]_原 = 1000 0001

  　　第一位是符號位. 因為第一位是符號位, 所以8位二進制數的取值范圍就是:

  [1111 1111 , 0111 1111]

  　　即

  [-127 , 127]

  　　原碼是人腦最容易理解和計算的表示方式.

• 2.反碼

  　　反碼的表示方法是:

  • 正數的反碼是其本身
  • 負數的反碼是在其原碼的基礎上, 符號位不變，其余各個位取反（真值各位取反）.

  [+1] = [00000001]_原 = [00000001]_反

  [-1] = [10000001]_原 = [11111110]_反

  　　可見如果一個反碼表示的是負數, 人腦無法直觀的看出來它的數值. 通常要將其轉換成原碼再計算.

• 3. 補碼

  　補碼的表示方法是:

  • 正數的補碼就是其本身
  • 負數的補碼是在其原碼的基礎上, 符號位不變, 其余各位取反, 最后+1. (即在反碼的基礎上+1)

  [+1] = [00000001]_原 = [00000001]_反 = [00000001]_補

  [-1] = [10000001]_原 = [11111110]_反 = [11111111]_補

  　　對於負數, 補碼表示方式也是人腦無法直觀看出其數值的. 通常也需要轉換成原碼在計算其數值.

三. 為何要使用原碼, 反碼和補碼

　　在開始深入學習前, 我的學習建議是先"死記硬背"上面的原碼, 反碼和補碼的表示方式以及計算方法.

　　現在我們知道了計算機可以有三種編碼方式表示一個數. 對於正數因為三種編碼方式的結果都相同:

[+1] = [00000001]_原 = [00000001]_反 = [00000001]_補

　　所以不需要過多解釋. 但是對於負數:

[-1] = [10000001]_原 = [11111110]_反 = [11111111]_補

　　可見原碼, 反碼和補碼是完全不同的. 既然原碼才是被人腦直接識別並用於計算表示方式, 為何還會有反碼和補碼呢?

　　首先, 因為人腦可以知道第一位是符號位, 在計算的時候我們會根據符號位, 選擇對真值區域的加減. (真值的概念在本文最開頭). 但是對於計算機, 加減乘數已經是最基礎的　　運算, 要設計的盡量簡單. 計算機辨別"符號位"顯然會讓計算機的基礎電路設計變得十分復雜! 於是人們想出了將符號位也參與運算的方法. 我們知道, 根據運算法則減去一個正數等於加上一個負數, 即: 1-1 = 1 + (-1) = 0 , 所以機器可以只有加法而沒有減法, 這樣計算機運算的設計就更簡單了.

　　於是人們開始探索 將符號位參與運算, 並且只保留加法的方法. 首先來看原碼:

　　計算十進制的表達式: 1-1=0

1 - 1 = 1 + (-1) = [00000001]_原 + [10000001]_原 = [10000010]_原 = -2

　　如果用原碼表示, 讓符號位也參與計算, 顯然對於減法來說, 結果是不正確的.這也就是為何計算機內部不使用原碼表示一個數.

　　為了解決原碼做減法的問題, 出現了反碼:

　　計算十進制的表達式: 1-1=0

1 - 1 = 1 + (-1) = [0000 0001]_原 + [1000 0001]_原= [0000 0001]_反 + [1111 1110]_反 = [1111 1111]_反 = [1000 0000]_原 = -0

　　發現用反碼計算減法, 結果的真值部分是正確的. 而唯一的問題其實就出現在"0"這個特殊的數值上. 雖然人們理解上+0和-0是一樣的, 但是0帶符號是沒有任何意義的. 而　　且會有[0000 0000]_原和[1000 0000]_原兩個編碼表示0.

　　於是補碼的出現, 解決了0的符號以及兩個編碼的問題:

1-1 = 1 + (-1) = [0000 0001]_原 + [1000 0001]_原 = [0000 0001]_補 + [1111 1111]_補 = [0000 0000]_補=[0000 0000]_原

　　這樣0用[0000 0000]表示, 而以前出現問題的-0則不存在了.而且可以用[1000 0000]表示-128:

(-1) + (-127) = [1000 0001]_原 + [1111 1111]_原 = [1111 1111]_補 + [1000 0001]_補 = [1000 0000]_補

　　-1-127的結果應該是-128, 在用補碼運算的結果中, [1000 0000]_補 就是-128. 但是注意因為實際上是使用以前的-0的補碼來表示-128, 所以-128並沒有原碼和反碼表示.(對-128的補碼表示[1000 0000]補算出來的原碼是[0000 0000]_原, 這是不正確的)

　　使用補碼, 不僅僅修復了0的符號以及存在兩個編碼的問題, 而且還能夠多表示一個最低數. 這就是為什么8位二進制, 使用原碼或反碼表示的范圍為[-127, +127], 而使用補碼表示的范圍為[-128, 127].

　　因為機器使用補碼, 所以對於編程中常用到的32位int類型, 可以表示范圍是: [-2³¹, 2³¹-1] 因為第一位表示的是符號位.而使用補碼表示時又可以多保存一個最小值.

四，補碼與原碼的轉換過程幾乎是相同的。（補碼的補碼就是原碼）　

• 原碼的補碼分兩種情況：

  • 正數的補碼：與原碼相同。
    例如，+9的補碼是00001001。

  • 負數的補碼：符號位為1，其余位為該數絕對值的原碼按位取反；然后整個數加1。

    例如，-7的補碼：因為是負數，則符號位為“1”,整個為10000111；其余7位為-7的絕對值+7的原碼 0000111按位取反為1111000；再加1，所以-7的補碼是11111001。

• 補碼的原碼也分兩種情況：

  • 如果補碼的符號位為“0”，表示是一個正數，所以補碼就是該數的原碼。

  • 如果補碼的符號位為“1”，表示是一個負數，求原碼的操作可以是：符號位為1，其余各位取反，然后再整個數加1。

    例如，已知一個補碼為11111001，則原碼是10000111（-7）：因為符號位為“1”，表示是一個負數，所以該位不變，仍為   “1”；其余7位1111001取反后為0000110；再加1，所以是10000111。