一. 機器數和真值
在學習原碼, 反碼和補碼之前, 需要先了解機器數和真值的概念.
1.機器數
一個數在計算機中的二進制表示形式, 叫做這個數的機器數。
2.真值
機器數的實際值稱為真值。
3.符號數和無符號數
符號數和無符號數是針對符號出現的兩種機器數表示方法。同一個二進制數，對符號數和無符號數具有不同的含義。
符號數如： char, short ,int, long等類型的變量
無符號數如：unsigned char, unsigned short , unsigned int, unsigned long, 指針等類型的變量
4.定點數與浮點數
定點數和浮點數是針對小數點出現的兩種機器數表示方法。
二. 原碼, 反碼, 補碼的基礎概念和計算方法
只有符號數才有原碼, 反碼, 補碼
在探求為何機器要使用補碼之前, 讓我們先了解原碼, 反碼和補碼的概念.對於一個數, 計算機要使用一定的編碼方式進行存儲. 原碼, 反碼, 補碼是機器存儲一個具體數字的一種編碼方式.
1. 原碼
原碼就是符號位加上真值的絕對值, 即用第一位表示符號, 其余位表示值. 比如如果是8位二進制:
[+1]原 = 0000 0001
[-1]原 = 1000 0001
第一位是符號位. 因為第一位是符號位, 所以8位二進制數的取值范圍就是:
[1111 1111 , 0111 1111]
即
[-127 , 127]
2. 反碼
反碼的表示方法是:正數的反碼是其本身,負數的反碼是在其原碼的基礎上, 符號位不變，其余各個位取反.
[+1] = [00000001]原 = [00000001]反
[-1] = [10000001]原 = [11111110]反
可見如果一個反碼表示的是負數, 人腦無法直觀的看出來它的數值. 通常要將其轉換成原碼再計算.
3. 補碼
補碼的表示方法是:正數的補碼就是其本身
負數的補碼是在其原碼的基礎上, 符號位不變, 其余各位取反, 最后+1. (即在反碼的基礎上+1)
[+1] = [00000001]原 = [00000001]反 = [00000001]補
[-1] = [10000001]原 = [11111110]反 = [11111111]補
對於負數, 補碼表示方式也是人腦無法直觀看出其數值的. 通常也需要轉換成原碼在計算其數值.
三. 為何要使用原碼, 反碼和補碼
1.使用補碼，可以將符號位和其它位統一處理；同時，減法也可按加法來處理。
2.使用補碼, 不僅僅修復了0的符號以及存在兩個編碼的問題, 而且還能夠多表示一個最低數. 這就是為什么8位二進制, 使用原碼或反碼表示的范圍為[-127, +127], 而使用補碼表示的范圍為[-128, 127].
(-1) + (-127) = [1000 0001]原 + [1111 1111]原 = [1111 1111]補 + [1000 0001]補 = [1000 0000]補
-1-127的結果應該是-128, 在用補碼運算的結果中, [1000 0000]補 就是-128. 但是注意因為實際上是使用以前的-0的補碼來表示-128, 所以-128並沒有原碼和反碼表示.(對-128的補碼表示[1000 0000]補算出來的原碼是[0000 0000]原, 這是不正確的)
四．補碼表示的溢出問題
以下是本人的補充的理解，不知道是否正確：
由於計算機中的數字用補碼表示，例如8bit的byte類型的表示范圍為：
[-128, 127]
0 = [0000 0000]（補）
-128 = [1000 0000]（補）
127 = [0111 1111]（補）
當byte類型的變量超上限127時，如：
+128 = -（-128）= 127 + 1
= [1111 1111]（補）+ [0000 0001]（補）
= [1000 0000]（補）
= -128
+129 = 127 + 2
= [1111 1111]（補）+ [0000 0001]（補）
= [1000 0001]（補）
= [1111 1111]（原）
= -127
當byte類型的變量超過下限-128時：
-129 = -128 - 1
= [1000 0000]（補) - [0000 0001]（補）
= [0111 1111]（補）
= 127
-130 = -128 - 2
= [1000 0000]（補) - [0000 0010]（補）
= [0111 1110]（補）
= 126
byte a = -128, b = (byte) 128, c = (byte) 129, d = (byte) 130;
byte e = (byte) -129, f = (byte) -130;
System.out.println(a == ((byte)-a)); // true
System.out.println(b); // -128
System.out.println(c); // -127
System.out.println(d); // -126
System.out.println(e); // 127
System.out.println(f); // 126
五．原碼, 反碼, 補碼 再深入（不一定要搞懂）
計算機巧妙地把符號位參與運算, 並且將減法變成了加法, 背后蘊含了怎樣的數學原理呢?
將鍾表想象成是一個1位的12進制數. 如果當前時間是6點, 我希望將時間設置成4點, 需要怎么做呢?我們可以:
1. 往回撥2個小時: 6 - 2 = 4
2. 往前撥10個小時: (6 + 10) mod 12 = 4
3. 往前撥10+12=22個小時: (6+22) mod 12 =4
2,3方法中的mod是指取模操作, 16 mod 12 =4 即用16除以12后的余數是4.
所以鍾表往回撥(減法)的結果可以用往前撥(加法)替代!
現在的焦點就落在了如何用一個正數, 來替代一個負數. 上面的例子我們能感覺出來一些端倪, 發現一些規律. 但是數學是嚴謹的. 不能靠感覺.
首先介紹一個數學中相關的概念: 同余
同余的概念
兩個整數a，b，若它們除以整數m所得的余數相等，則稱a，b對於模m同余
記作 a ≡ b (mod m)
讀作 a 與 b 關於模 m 同余。
舉例說明:
4 mod 12 = 4
16 mod 12 = 4
28 mod 12 = 4
所以4, 16, 28關於模 12 同余.
負數取模
正數進行mod運算是很簡單的. 但是負數呢?
下面是關於mod運算的數學定義:
上面是截圖, "取下界"符號找不到如何輸入(word中粘貼過來后亂碼). 下面是使用"L"和"J"替換上圖的"取下界"符號:
x mod y = x - y L x / y J
上面公式的意思是:
x mod y等於 x 減去 y 乘上 x與y的商的下界.
以 -3 mod 2 舉例:
-3 mod 2
= -3 - 2xL -3/2 J
= -3 - 2xL-1.5J
= -3 - 2x(-2)
= -3 + 4 = 1
所以:
(-2) mod 12 = 12-2=10
(-4) mod 12 = 12-4 = 8
(-5) mod 12 = 12 - 5 = 7
開始證明
再回到時鍾的問題上:
回撥2小時 = 前撥10小時
回撥4小時 = 前撥8小時
回撥5小時= 前撥7小時
注意, 這里發現的規律!
結合上面學到的同余的概念.實際上:
(-2) mod 12 = 10
10 mod 12 = 10
-2與10是同余的.
(-4) mod 12 = 8
8 mod 12 = 8
-4與8是同余的.
距離成功越來越近了. 要實現用正數替代負數, 只需要運用同余數的兩個定理:
反身性:
a ≡ a (mod m)
這個定理是很顯而易見的.
線性運算定理:
如果a ≡ b (mod m)，c ≡ d (mod m) 那么:
(1)a ± c ≡ b ± d (mod m)
(2)a * c ≡ b * d (mod m)
如果想看這個定理的證明, 請看:http://baike.baidu.com/view/79282.htm
所以:
7 ≡ 7 (mod 12)
(-2) ≡ 10 (mod 12)
7 -2 ≡ 7 + 10 (mod 12)
現在我們為一個負數, 找到了它的正數同余數. 但是並不是7-2 = 7+10, 而是 7 -2 ≡ 7 + 10 (mod 12) , 即計算結果的余數相等.
接下來回到二進制的問題上, 看一下: 2-1=1的問題.
2-1=2+(-1) = [0000 0010]原 + [1000 0001]原= [0000 0010]反 + [1111 1110]反
先到這一步, -1的反碼表示是1111 1110. 如果這里將[1111 1110]認為是原碼, 則[1111 1110]原 = -126, 這里將符號位除去, 即認為是126.
發現有如下規律:
(-1) mod 127 = 126
126 mod 127 = 126
即:
(-1) ≡ 126 (mod 127)
2-1 ≡ 2+126 (mod 127)
2-1 與 2+126的余數結果是相同的! 而這個余數, 正式我們的期望的計算結果: 2-1=1
所以說一個數的反碼, 實際上是這個數對於一個模的同余數. 而這個膜並不是我們的二進制, 而是所能表示的最大值! 這就和鍾表一樣, 轉了一圈后總能找到在可表示范圍內的一個正確的數值!
而2+126很顯然相當於鍾表轉過了一輪, 而因為符號位是參與計算的, 正好和溢出的最高位形成正確的運算結果.
既然反碼可以將減法變成加法, 那么為什么現在計算機使用的補碼呢? 為什么在反碼的基礎上加1, 還能得到正確的結果?
2-1=2+(-1) = [0000 0010]原 + [1000 0001]原 = [0000 0010]補 + [1111 1111]補
如果把[1111 1111]當成原碼, 去除符號位, 則:
(0111 1111]原 = 127
其實, 在反碼的基礎上+1, 只是相當於增加了模的值:
(-1) mod 128 = 127
127 mod 128 = 127
2-1 ≡ 2+127 (mod 128)
此時, 表盤相當於每128個刻度轉一輪. 所以用補碼表示的運算結果最小值和最大值應該是[-128, 128].
但是由於0的特殊情況, 沒有辦法表示128, 所以補碼的取值范圍是[-128, 127].