在這篇博文中，我希望能從數學的角度幫助你理解計算機中的補碼世界，並嘗試解釋以下問題：
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符號位為什么是最高位，為什么
1表示負，0表示正？0表示正，1表示負，為啥不是0表示負，1表示正？ -
為什么補碼
1000 0000表示-128? -
為什么補碼能夠實現減法運算？
關於原碼、反碼、補碼的計算這里就不贅述了，但是如果你對於原碼、反碼、補碼的計算還是通過一個數 -> 二進制原碼 -> 正數不變，負數保持符號位，其他位取反 得反碼 -> 反碼+1得補碼
另外也有上面的3個疑問的話
我強烈建議你忘掉之前關於原碼、反碼和補碼的認知
我首先拋出三個問題，希望你帶着這三個問題去閱讀，當你能給出這兩個問題的答案的時候，上面的3個問題也有答案了
- 同余的定義和意義是什么？
- 在4位系統中，怎么去表示負數？
- 在8位系統中，怎么做減法運算？
1. 環形系統、模、同余
在一個環形系統中，能表示的數是有限的。例如在下面的表盤中，你能表示的數只有0~11，大於等於12的數，會被舍棄一部分，再在表盤上表示出來，在計算機中，我們管這叫「溢出」。
比如15點，在鍾表上表現的是3。當表針越過11的時候，又從0開始，直到3。如果在鍾表的世界里，要表示27呢？鍾表上無法表示准確的數字，27在這里只能被表示為3。准確地說，在超出這個系統極限值的時候，也就是說溢出了，這個系統只能用「余數」來計量
在這里，所有被12除，余數為3的數，都被歸為1類。在這里，還有余數為0、1、2...11的類
而15和27，稱為 15和27關於模12同余，它們的余數就是3
在這個系統中，能表示的數只有「余數」，表盤上的數字都是被12除后的余數
我們可以這樣理解這個系統：這個系統將整數分成了12類——被12除余0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11的類
我們來看看「什么是奇數？什么是偶數？」
偶數是被2除余0的整數，奇數是被2除余1的整數。
通過模2我們將整數分成了兩類：余0和余1的數，也就是偶數和奇數
回到我們的表盤，通過模12，所有的整數也能被分成12類，分別是余0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11的類
所有的整數對模12做取模運算，按照它們的余數我們可以給它們分類。
1、13、-11、-23是同一類！
到這里，我們可以給出第一個問題的答案了。關於同余是這樣定義的：如果兩個數a、b除以模m，余數一樣，就稱整兩個數關於模m同余，記為
同余的意義就是分類！
2. 計算機世界
很容易理解計算機實際上就是一個環形系統。我們以4位bit來看看
在這個系統中，我們怎么表示負數呢？比如說 -2 ?既然這是一個環形系統，結合同余來看這個世界會變得極其容易。
根據同余，-2 在這里和14 是同一類!所以我們可以用 14 的機器碼來表示 -2
14 的機器碼是 1110
現在問題出現了，1110 原來就是表示正數的14的，現在又要表示-2。那么當機器給我們這個二進制的時候，我們到底是把它看做14還是-2呢？
我們有一種做法：就是把0`15`個數分成了兩組，`0`7的機器碼還是代表原來的0`7`，`8`15的機器碼表示了-8~-1
當我們采用了上述這種分法的時候，歡迎來到補碼的世界。這正是我們現在的計算機世界——補碼世界
我們分別算一下-8~-1的關於模16的同余數以及同余數的二進制機器碼
這些表示是不是很熟悉？最高位的 1 表示負號，補碼 1111 轉反碼 1110 轉原碼 1001 = -1。符號位 1 表示負數，0 表示正數，不是拍腦袋決定的，而是基於同余的思想
說到底，補碼的世界就是同余的世界啊！！！
到這里，我們可以解釋負數在4位系統中的表示了。通過引入了同余，將這個世界中一半的大數轉為了小數對應的負數
3. 8位系統中的減法運算
通過引入同余/補碼，我們可以表示負數，可以只用加法器實現減法運算
在這個補碼/同余的世界里，原生支持減法運算！！！
很容易得到，在8位系統中，mod = 1 0000 0000 = 256，負數的范圍是-128 ~ -1，正數是0 ~ 127
來看兩個例子：
「例子1」： 30 - 70 = ?
記住這是一個補碼的世界，我們沒必要管原碼和反碼，讓它們見鬼去吧！！！
30 的補碼是0001 1110，這個很順利，我們直接轉二進制就行了，因為 30 三 30 (mod 256)
-70 有點波折，因為我們需要知道它占用了哪個同余數的機器碼，256 - |-70| = 186。它占用了186 的機器碼，也就是 1011 1010
兩個機器碼直接相加得到 1101 1000。這是補碼！！直接轉是216。但是這個值大於127，我們知道這個數的機器碼被它的同余數-40 占用了
因為256 - |-40| = 216
「例子2」： 100 - 50 = ?
在這里，我們嘗試進入補碼世界，但是不用二進制表示，為了符合我們直觀
記住這是一個環形世界，306 在這個世界和 50 是一類。 306 三 50 (mod 256)，50 的機器碼並沒有被占用，所以最終的答案就是 50
總結一下上面兩個例子，在8位系統中，模是256。能表示的數是 -128 ~ 127。超出這個范圍的數都會根據同余被歸到其中的一類
為了說明補碼原生支持減法。我們想象一個8位系統，我們希望它能表示的數的范圍是 -100 ~ 155
現在計算 50 - 30 和 30 - 50
看到了嗎？在這個補碼的世界里，才不管你是怎么分的，分成-128 ~ 127 也好，分成 -100 ~ 155 也罷，老子天然支持減法運算
4. 帶着補碼武功進入8位系統江湖中
為了幫助你融會貫通補碼這門武功，我決定帶着你闖盪一遍8位系統的江湖。在這里，不用管1 和 0，二進制也好，16進制也好，思想都是一樣的。
我們再來計算 109 - 9 和 9 - 109，記住，不要用 1 和 0 的機器碼，我們純用補碼的思想（也就是同余）來搞事
到了這里，是不是覺得補碼也就那么回事了。
現在，你是不是可以自己解決開篇的三個疑問了呢？帶着同余的思想去干掉這三個疑問吧！！