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波動率是眾多定價和風險模型中的關鍵參數，例如BS定價方法或VaR的計算。在這個模型中，或者說在教科書中，這些模型中的波動率通常被認為是一個常數。然而，情況並非如此，根據學術研究，波動率是具有聚類，肥尾和長記憶特征的時間序列變量。
本博客比較了GARCH模型（描述波動率聚類），ARFIMA模型（描述長記憶），HAR-RV模型（基於高頻數據和異構市場假設），以及來自SSE 50指數和CME利率期貨的樣本。
此外，本文使用滾動時間窗預測方法來計算預測波動率並構建指數以評估模型的准確性。結果表明，基於長記憶和實現波動率的ARFIMA-RV模型是最准確的模型。
1.基於GARCH的模型
- 描述波動率聚類
為了模擬異方差性，GARCH采用以下過程：
為了反映金融市場的不對稱性，學者們提出了EGARCH，TGARCH或APARCH（非對稱權力自回歸條件異方差），其中APARCH更為一般。
我們從在R中擬合APARCH開始：
可以看出ARCH效應是顯而易見的
我們可以得到模型的系數，以及誤差分析
為了進一步分析模型，我們分析了QQ圖中的正態性殘差。
我們發現殘差不正常，然后我們測試殘差的自相關：
測試對於上面列出的模型，所有殘差都具有一些自相關效應。因此，基於GARCH的模型可能不夠准確，無法預測波動性。
我們使用MSE（誤差的均方）來測量模型的預測性能。
| MSE.NGARCH | 0.000385108313676526 |
| MSE.tGARCH | 0.00038568802365854 |
| MSE.APARCH | 0.000385278917823468 |
2.基於HAR-RV的模型
- 處理高頻實現的波動率
高頻數據包含更豐富的日內交易信息，因此可用於衡量波動率。實現波動是其中一種方式。如果我們將交易日t划分為N個時段，每個時段都會有一個日志返回，那么實現的收益可以計算如下：
HAR-RV，異構自回歸RV模型由Corsi創建。它說每日房車將與前一時期的每日，每周和每月房車有關。
MSE計算如下
| MSE.HARRV | 1.08226110318177 * 10 ^（ - 7） |
| MSE.HARRVCJ | 1.90270268315141 * 10 ^（ - 7） |
3.基於ARFIMA的模型
- 描述長記憶
ARFIMA是自回歸分數積分移動平均線的模型，其具有與ARMA模型相同的表示形式，但差分參數d可以是非整數值：
在差分參數d是非整數的情況下，則可以如下表示回程操作
在R中，我們編程探索HAR-RV和HAR-RV-CJ模型。
MSE如下所列
| MSE.ARFIMA1 | 1.0663781087345 * 10 ^（ - 7） |
| MSE.ARFIMA2 | 1.06634734745652 * 10 ^（ - 7） |
| MSE.ARFIMA3 | 1.06846983445809 * 10 ^（ - 7） |
結論
| SH50 | S＆P500 | |
| MSE.NGARCH | 0.000385108314 | 7.793024760363 * 10 ^（ - 5） |
| MSE.tGARCH | 0.000385688024 | 7.803986179542 * 10 ^（ - 5） |
| MSE.APARCH | 0.000385278919 | 7.781641356006 * 10 ^（ - 5） |
| MSE.HARRV | 1.082261103181 * 10 ^（ - 7） | 1.459464289508 * 10 ^（ - 9） |
| MSE.HARRVCJ | 1.902702683151 * 10 ^（ - 7） | N / A（沒有足夠的數據） |
| MSE.ARFIMA1 | 1.066378108737 * 10 ^（ - 7） | 1.820349558502 * 10 ^（ - 8） |
| MSE.ARFIMA2 | 1.066347347457 * 10 ^（ - 7） | 1.848206765296 * 10 ^（ - 8） |
| MSE.ARFIMA3 | 1.068469834458 * 10 ^（ - 7） | 1.844987432992 * 10 ^（ - 8） |
從結果我們知道基於ARFIMA的模型具有與HAR-RV相似的准確度，並且兩者都比GARCH模型好得多。