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預測GDP增長
我們復制了Ghysels（2013）中提供的示例。我們進行了MIDAS回歸分析，以預測季度GDP增長以及每月非農就業人數的增長。預測公式如下
其中yt是按季度季節性調整后的實際美國GDP的對數增長，x3t是月度總就業非農業工資的對數增長。
首先，我們加載數據並執行必要的轉換。
R> y <- window(USqgdp, end = c(2011, 2))
R> x <- window(USpayems, end = c(2011, 7))
R> yg <- diff(log(y)) * 100
R> xg <- diff(log(x)) * 100
最后兩行用於均衡樣本大小，樣本大小在原始數據中有所不同。我們只需在數據的開頭和結尾添加其他NA值即可。數據的圖形表示如圖3所示。要指定midas_r函數的模型，我們以下等效形式重寫它：
就像在Ghysels（2013）中一樣，我們將估算樣本限制在1985年第一季度到2009年第一季度之間。我們使用Beta多項式，非零Beta和U-MIDAS權重規格來評估模型。
R> coef(beta0)
(Intercept) yy xx1 xx2 xx3
0.8315274 0.1058910 2.5887103 1.0201202 13.6867809
R> coef(betan)
(Intercept) yy xx1 xx2 xx3 xx4
0.93778705 0.06748141 2.26970646 0.98659174 1.49616336 -0.09184983
(Intercept) yy xx1 xx2 xx3 xx4
0.92989757 0.08358393 2.00047205 0.88134597 0.42964662 -0.17596814
xx5 xx6 xx7 xx8 xx9
0.28351010 1.16285271 -0.53081967 -0.73391876 -1.18732001我們可以使用2009年第2季度至2011年第2季度包含9個季度的樣本數據評估這三個模型的預測性能。
R> fulldata <- list(xx = window(nx, start = c(1985, 1), end = c(2011, 6)),
+ yy = window(ny, start = c(1985, 1), end = c(2011, 2)))
R> insample <- 1:length(yy)
R> outsample <- (1:length(fulldata$yy))[-insample]
R> avgf <- average_forecast(list(beta0, betan, um), data = fulldata,
+ insample = insample, outsample = outsample)
R> sqrt(avgf$accuracy$individual$MSE.out.of.sample)
[1] 0.5361953 0.4766972 0.4457144
我們看到，MIDAS回歸模型提供了最佳的樣本外RMSE。
預測實際波動
作為另一個演示，我們使用midasr來預測每日實現的波動率。Corsi（2009）提出了一個簡單的預測每日實際波動率的模型。實現波動率的異質自回歸模型（HAR-RV）定義為
我們假設一周有5天，一個月有4周。該模型是MIDAS回歸的特例：
相應的R代碼如下
為了進行經驗論證，我們使用了由Heber，Lunde，Shephard和Sheppard（2009）提供的關於股票指數的已實現波動數據。我們基於5分鍾的回報數據估算S＆P500指數的年度實現波動率模型。
Parameters:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) 0.83041 0.36437 2.279 0.022726 *
rv1 0.34066 0.04463 7.633 2.95e-14 ***
rv2 0.41135 0.06932 5.934 3.25e-09 ***
rv3 0.19317 0.05081 3.802 0.000146 ***
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
Residual standard error: 5.563 on 3435 degrees of freedom為了進行比較，我們還使用歸一化指數Almon權重來估計模型
Parameters:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) 0.837660 0.377536 2.219 0.0266 *
rv1 0.944719 0.027748 34.046 < 2e-16 ***
rv2 -0.768296 0.096120 -7.993 1.78e-15 ***
rv3 0.029084 0.005604 5.190 2.23e-07 ***
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
Residual standard error: 5.535 on 3435 degrees of freedom我們可以使用異方差性和自相關魯棒權重規范測試hAhr_test來測試這些限制中哪些與數據兼容。
hAh restriction test (robust version)
data:
hAhr = 28.074, df = 17, p-value = 0.04408
hAh restriction test (robust version)
data:
hAhr = 19.271, df = 17, p-value = 0.3132
我們可以看到，與MIDAS回歸模型中的HAR-RV隱含約束有關的零假設在0.05的顯着性水平上被拒絕，而指數Almon滯后約束足夠的零假設則不能被拒絕。
圖說明了擬合的MIDAS回歸系數和U-MIDAS回歸系數及其相應的95％置信區間。對於指數Almon滯后指標，我們可以通過AIC或BIC選擇滯后次數。
在這里，我們使用了兩種優化方法來提高收斂性。將測試函數應用於每個候選模型。函數hAhr_test需要大量的計算時間，尤其是對於滯后數量較大的模型，因此我們僅在第二步進行計算，並且限制了滯后次數的選擇。AIC選擇模型有9個滯后：
Selected model with AIC = 21551.97
Based on restricted MIDAS regression model
The p-value for the null hypothesis of the test hAhr_test is 0.5531733
Parameters:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) 0.96102 0.36944 2.601 0.00933 **
rv1 0.93707 0.02729 34.337 < 2e-16 ***
rv2 -1.19233 0.19288 -6.182 7.08e-10 ***
rv3 0.09657 0.02190 4.411 1.06e-05 ***
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
Residual standard error: 5.524 on 3440 degrees of freedomhAh_test的HAC再次不拒絕指數Almon滯后規范的原假設。我們可以使用具有1000個觀測值窗口的滾動預測來研究兩個模型的預測性能。為了進行比較，我們還計算了無限制AR（20）模型的預測。
Model MSE.out.of.sample MAPE.out.of.sample
1 rv ~ (rv, 1:20, 1) 10.82516 26.60201
2 rv ~ (rv, 1:20, 1, harstep) 10.45842 25.93013
3 rv ~ (rv, 1:9, 1, nealmon) 10.34797 25.90268
MASE.out.of.sample MSE.in.sample MAPE.in.sample MASE.in.sample
1 0.8199566 28.61602 21.56704 0.8333858
2 0.8019687 29.24989 21.59220 0.8367377
3 0.7945121 29.08284 21.81484 0.8401646
我們看到指數Almon滯后模型略勝於HAR-RV模型，並且兩個模型均勝過AR（20）模型。
參考文獻
Andreou E，Ghysels E，Kourtellos A（2010）。“具有混合采樣頻率的回歸模型。” 計量經濟學雜志，158，246–261。doi：10.1016 / j.jeconom.2010.01。004。
Andreou E，Ghysels E，Kourtellos A（2011）。“混合頻率數據的預測。” 在MP Clements中，DF Hendry（編），《牛津經濟預測手冊》，第225–245頁。