截斷正態分布（Truncated normal distribution）

Truncated normal distribution - Wikipedia

Normal Distribution 稱為正態分布，也稱為高斯分布，Truncated Normal Distribution一般翻譯為截斷正態分布，也有稱為截尾正態分布。

截斷正態分布是截斷分布(Truncated Distribution)的一種，那么截斷分布是什么？截斷分布是指，限制變量 x 取值范圍(scope)的一種分布。例如，限制x取值在0到50之間，即{0<x<50}。因此，根據限制條件的不同，截斷分布可以分為：

• 2.1 限制取值上限，例如，負無窮<x<50
• 2.2 限制取值下限，例如，0<x<正無窮
• 2.3 上限下限取值都限制，例如，0<x<50

正態分布則可視為不進行任何截斷的截斷正態分布，也即自變量的取值為負無窮到正無窮；

1. 概率密度函數

假設 X 原來服從正太分布，那么限制 x 的取值在（a，b）范圍內之后，X 的概率密度函數，可以用下面公式計算：

f(x;μ,σ,a,b)=1σϕ(x−μσ)Φ(b−μσ)−Φ(a−μσ)

• 其中 ϕ(⋅) ：均值為 0，方差為 1 的標准正態分布；

  ϕ(ξ)=12π−−√exp(−12ξ2)

• Φ(⋅) 為標准正態分布的累積分布函數；

• 對其分母部分的一些簡單認識，
  
  • b→∞ ，⇒ Φ(b−μσ)=1
  • a→−∞ ⇒ Φ(a−μσ)=0