【八皇后問題】
問題： 國際象棋棋盤是8 * 8的方格，每個方格里放一個棋子。皇后這種棋子可以攻擊同一行或者同一列或者斜線（左上左下右上右下四個方向）上的棋子。在一個棋盤上如果要放八個皇后，使得她們互相之間不能攻擊（即任意兩兩之間都不同行不同列不同斜線），求出一種（進一步的，所有）布局方式。
■ 描述 & 實現
之前的Python基礎那本書上介紹遞歸和生成器的一張有解過這個問題。書本中對於此問題的解可能更偏重於對於Python語言的應用。然而果然我也是早就忘光了。下面再來從頭看看這個問題。
首先，我們想到遞歸和非遞歸兩類算法來解決這個問題。首先說說遞歸地算法。
很自然的，我們可以基於行來做判斷標准。八個皇后都不同行這是肯定的，也就說每行有且僅有一個皇后，問題就在於皇后要放在哪個列。當然八個列下標也都不能有相同，除此之外還要保證斜線上不能有重疊的皇后。
第一個需要解決的小問題就是，如何用數學的語言來表述斜線上重疊的皇后。其實我們可以看到，對於位於(i,j)位置的皇后而言，其四個方向斜線上的格子下標分別是 (i-n,j+n), (i-n,j-n), (i+n,j-n), (i+n,j+n)。當然i和j的±n都要在[0,7]的范圍內，保持不越界。暫時拋開越界限制不管，這個關系其實就是： 目標格子(a,b)和本格子(i,j)在同一條斜線上 等價於 |a - i| == |b - j| 。
然后，從遞歸的思想來看，我們在從第一行開始給每一行的皇后確定一個位置。每來到新的一行時，對本行的所有可能位置（皇后放在這個位置和前面所有已放置的皇后無沖突）分別進行遞歸地深入；若某一行可能的位置數為0，則表明這是一條死路，返回上一層遞歸尋找其他辦法；若來到的這一行是第九行（不存在第九行，只不過是說明前八行都已經正確配置，已經得到一個解決方案），這說明得到解決方案。
可以看到，尋找一行內皇后應該擺放的位置這是個遞歸過程，並且在進入遞歸時，應該要告訴這個過程的東西包括兩個： 1. 之前皇后放置的狀態， 2. 現在是第幾行。
所以，遞歸主體函數可以設計為 EightQueen(board, row)，其中board表示的是當前棋盤的狀態（比如一個二維數組，0表示未放置，1表示放有皇后的狀態）。另外還可以有一個check(board,pos)，pos可以是一個(x,y)元組，check函數用來返回以當前的board棋盤狀態，如果在pos再放置一個皇后是否會有沖突。
基於上面的想法，初步實現如下：
def check(board,pos): # check函數暫時先不實現 pass def EightQueen(board,row): blen = len(board) if row == blen: # 來到不存在的第九行了 print board return True # 一定要return一個True，理由在下面 for possibleY in range(blen): if check(board,(row,possibleY)): board[row][possibleY] = 1 # 放置一個Queen if not EightQueen(board,row+1): # 這里其實是本行下面所有行放置皇后的遞歸入口。但是如果最終這條路沒有找到一個解，那么 # 此時應該將剛才放置的皇后收回，再去尋找下一個可能的解 board[row][possibleY] = 0 else: return True return False
最開始，可能在回歸返回條件那里面不會想到要return True，而只是return。對應的，下面主循環中放置完Queen之后也只是簡單地遞歸調用EightQueen，不會做邏輯判斷。但是很快可以發現這樣做存在一個問題，即當某一層遞歸中for possibleY這個循環走完卻沒有找到一個合適的解（即本行無合適位置），此時返回上一行，上一行的possibleY右移一格，此時之前放在這一行的Queen的位置仍然是1。這樣之后本行的所有check肯定都是通不過的。所以我們需要設計一個機制，使得第一個possibleY沒有找到合理的最終解決方案（這里就加上了一個判斷條件），要右移一格到下一個possibleY時將本格的Queen收回。
這個判斷條件就是如果某層遞歸for possibleY循環整個走完未找到結果返回False（EightQueen整個函數最后的返回），上一層根據這個False反饋把前一個Queen拿掉；如果找到了某個結果那么就可以一路return True回來，結束函數的運行。
另外，如果只是獲取一個解的話，可以考慮在if row == blen的時候，打印出board，然后直接sys.exit(0)。此時就只需要for possibleY循環完了之后return一個False就可以了。當然主循環中對於遞歸的返回的判斷 if not EightQueen還是需要的。
■ 優化
● check函數怎么搞
上面沒有實現check函數。其實仔細想一下，如果按照上面的設想來實現check函數還是有點困難的。比如令 x,y = pos，盡管此時我們只需要去檢查那些行下標小於x的board中的行，但是對於每一行中我們還是要一個個去遍歷，找到相關行中值是1的那個格子（突然發現這個是one-hot模式誒哈哈），然后將它再和x,y這個位置做沖突判斷。所以但是這個check函數復雜度就可能會達到O(n^2)，再套上外面的循環，復雜度蹭蹭往上漲。下面是check函數的一個可能的實現：
def check(board,pos): x,y = pos blen = len(board) for i in range(x): for j in range(blen): if board[i][j] == 1: if j == y or abs(j-y) == abs(i-x): return False return True
其實可以看到，我們花了一層循環在尋找某行中的one-hot，那些大量的0值元素是我們根本不關心的。換句話說，對於board這個二維數組，其實我們真正關心的是每行中one-hot值的下標值。自然我們就可以想到，能不能將board轉化為一個一維數組，下標本身就代表了board中的某一行，然后值是指這一行中皇后放在第幾列。
如果是這樣的話，那么程序就需要改造，首先是check函數要根據新的board數據結構做一些調整：
def check(board,row,col): i = 0 while i < row: if abs(col-board[i]) in (0,abs(row-i)): return False i += 1 return True
可以看到，改變二維數組board變為一維數組之后，我們可以在O(1)的時間就確定row行之前每一行擺放的位置，並將其作為參考進行每一行的沖突判斷。
然后是主函數的修改：
def EightQueen(board,row): blen = len(board) if row == blen: # 來到不存在的第九行了 print board return True col = 0 while col < blen: if check(board,row,col): board[row] = col if EightQueen(board,row+1): return True col += 1 return False def printBoard(board): '''為了更友好地展示結果 方便觀察''' import sys for i,col in enumerate(board): sys.stdout.write('□ ' * col + '■ ' + '□ ' * (len(board) - 1 - col)) print ''
總的結構，和沒修改之前是類似的，只不過在主循環中，從上面的possibleY作為游標去設置 - 去除 一個位置的放置狀態，這種方式改為了簡單的col += 1。改成col+=1的好處就是當某輪遞歸以失敗告終，返回上層遞歸之后，就不用再去特地收回之前放置好的Queen，而是可以直接讓col += 1,。
printBoard函數可以將一維數組的board狀態很直觀地展現出來：
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■ 所有結果？
上面的程序多只是生成了一個結果，而實際上八皇后可以有很多種可能的布局。如何才能求得所有結果？其實只要小小地修改一下上面的程序就可以了。
以上面修改過后一維數組維護棋盤狀態為例。程序在碰到一次row == blen的情況之后就返回了True，然后遞歸一層層地返回True直到最上層。所以找到一個解決方案之后，程序就會退出了。
反過來，如果獲得一個解決方案之后，不判斷EightQueen函數的返回，此時函數會繼續執行col += 1,將狀態搜尋繼續下去，如此收集狀態的任務在row == blen的判斷中，（注意這里的return可不能刪，這里需要一個return來提示遞歸的終結條件），而對於每條遞歸路徑總是窮盡所有可能再回頭，這樣就可以獲得到所有可能了：
def EightQueen(board,row): blen = len(board) if row == blen: # 來到不存在的第九行了 print board return True col = 0 while col < blen: if check(board,row,col): board[row] = col if EightQueen(board,row+1): # return True 去掉這里即可，或者直接刪除掉整個判斷，只留下單一個EightQueen(board,row+1) pass col += 1 return False
示例結果：
[0, 4, 7, 5, 2, 6, 1, 3] [0, 5, 7, 2, 6, 3, 1, 4] [0, 6, 3, 5, 7, 1, 4, 2] [0, 6, 4, 7, 1, 3, 5, 2] [1, 3, 5, 7, 2, 0, 6, 4] [1, 4, 6, 0, 2, 7, 5, 3] [1, 4, 6, 3, 0, 7, 5, 2] [1, 5, 0, 6, 3, 7, 2, 4] [1, 5, 7, 2, 0, 3, 6, 4] …… 總共有92種布局方案
■ 非遞歸
非遞歸解這個問題，很顯然是要去維護一個stack來保存一個路徑了。簡單來說，這個棧中維護的應該是“尚未嘗試去探索的可能”，當我開始檢查一個特定的位置，如果檢查通過，那么應該做的是首先將本位置右邊一格加入棧，然后再把下一行的第一個格子加入棧。注意前半個操作很容易被忽視，但是如果不將本位置右邊一格入棧，那么如果基於本格有皇后的情況進行的遞歸最終沒有返回一個結果的話，接下來就不知道往哪走了。如果使用了棧，那么用於掃描棋盤的游標就不用自己在循環里+=1了，循環中游標的移動全權交給棧去維護。
代碼如下：
def EightQueen(board): blen = len(board) stack = Queue.LifoQueue() stack.put((0,0)) # 為了自洽的初始化 while not stack.empty(): i,j = stack.get() if check(board,i,j): # 當檢查通過 board[i] = j # 別忘了放Queen if i >= blen - 1: print board # i到達最后一行表明已經有了結果 break else: if j < blen - 1: # 雖然說要把本位置右邊一格入棧，但是如果本位置已經是行末尾，那就沒必要了 stack.put((i,j+1)) stack.put((i+1,0)) # 下一行第一個位置入棧，准備開始下一行的掃描 elif j < blen - 1: stack.put((i,j+1)) # 對於未通過檢驗的情況，自然右移一格即可
顯然，把break去掉就是求所有解了
■ 用C語言寫了一版
#include <stdio.h> static int board[8] = {}; int board_size = sizeof(board)/sizeof(int); int check(int *board,int row){ int i = 0; while(i < row){ if(board[i] == board[row] || row - i == board[row] - board[i] || row - i == board[i] - board[row]){ return 0; } i++; } // printf("board[%d]: %d\n",row,board[row]); return 1; } void print_board(int *board){ int i; int size = board_size; for(i=0;i<size;i++){ printf("%d,",board[i]); } printf("\n"); i = 0; while (i < size){ int j; for (j=0;j<size;j++){ if(j == board[i]){ printf("%s ","■ "); } else{ printf("%s ","□ "); } } printf("\n"); i++; } } int eight_queen(int *board,int row){ if (row == 8){ print_board(board); return 1; } board[row] = 0; while (1){ if (check(board,row) && eight_queen(board,row+1)){ return 1; } else{ if(++board[row] >= 8){ break; } } } return 0; } int main(){ eight_queen(board,0); // print_board(board); return 0; }