一道算法題-八皇后問題(C++實現)

八皇后問題

一、題意解析

　　國際象棋中的皇后，可以橫向、縱向、斜向移動。如何在一個8X8的棋盤上放置8個皇后，使得任意兩個皇后都不在同一條橫線、豎線、斜線方向上？八皇后問題是一個古老的問題，於1848年由一位國際象棋棋手提出：在8×8格的國際象棋上擺放八個皇后，使其不能互相攻擊，即任意兩個皇后都不能處於同一行、同一列或同一斜線上，如何求解？以高斯為代表的許多數學家先后研究過這個問題。后來，當計算機問世，通過計算機程序的運算可以輕松解出這個問題。

二、如何解決八皇后問題？

　　所謂遞歸回溯，本質上是一種枚舉法。這種方法從棋盤的第一行開始嘗試擺放第一個皇后，擺放成功后，遞歸一層，再遵循規則在棋盤第二行來擺放第二個皇后。如果當前位置無法擺放，則向右移動一格再次嘗試，如果擺放成功，則繼續遞歸一層，擺放第三個皇后......

　　如果某一層看遍了所有格子，都無法成功擺放，則回溯到上一個皇后，讓上一個皇后右移一格，再進行遞歸。如果八個皇后都擺放完畢且符合規則，那么就得到了其中一種正確的解法。說起來有些抽象，我們來看一看遞歸回溯的詳細過程。

　　1.第一層遞歸，嘗試在第一行擺放第一個皇后：

　　2.第二層遞歸，嘗試在第二行擺放第二個皇后（前兩格被第一個皇后封鎖，只能落在第三格）：

　　3.第三層遞歸，嘗試在第三行擺放第三個皇后（前四格被第一第二個皇后封鎖，只能落在第五格）：

　　4.第四層遞歸，嘗試在第四行擺放第四個皇后（第一格被第二個皇后封鎖，只能落在第二格）：

　　5.第五層遞歸，嘗試在第五行擺放第五個皇后（前三格被前面的皇后封鎖，只能落在第四格）：

　　6.由於所有格子都“綠了”，第六行已經沒辦法擺放皇后，於是進行回溯，重新擺放第五個皇后到第八格。：

　　7.第六行仍然沒有辦法擺放皇后，第五行也已經嘗試遍了，於是回溯到第四行，重新擺放第四個皇后到第七格。：

　　8.繼續擺放第五個皇后，以此類推......

三、八皇后問題的代碼實現

　　解決八皇后問題，可以分為兩個層面：

1.找出第一種正確擺放方式，也就是深度優先遍歷。

2.找出全部的正確擺放方式，也就是廣度優先遍歷。

 我們本篇只介紹如何找出第一種正確擺放方式。具體代碼如下：

//"八皇后問題回溯實現"
#include <iostream>
using namespace std;
const int ArSize = 8;//這個數等於幾，就是幾皇后。
int num = 0;
void solve(bool arr[ArSize][ArSize], int row);
bool check(bool arr[ArSize][ArSize], int row, int column);
void outPut(bool arr[ArSize][ArSize]);

int main()
{
    bool chessboard[ArSize][ArSize];
    // 數組初始化
    for (auto &i : chessboard)
    {
        for (auto &j : i)
        {
            j = false;
        }
    }
    solve(chessboard, 0);
    cout << "八皇后問題共有" << num << "種解！" << endl;
    system("pause");
    return 0;
}
// 回溯法
void solve(bool arr[ArSize][ArSize], int row)
{
    for (int column = 0; column < ArSize; ++column)
    {
        arr[row][column] = true;
        if (check(arr, row, column))
        {
            if (row + 1 == ArSize)
            {
                outPut(arr);
            }
            else
            {
                solve(arr, row + 1);
            }
        }
        arr[row][column] = false;
    }
}
// 判斷皇后的落點是否合規
bool check(bool arr[ArSize][ArSize], int row, int column)
{
    if (row == 0)
    {
        return true;
    }
    int i, j;
    // 判斷縱向是否有沖突
    for (i = 0; i < row; ++i)
    {
        if (arr[i][column])
        {
            return false;
        }
    }
    i = row - 1;
    j = column - 1;
    // 判斷正斜對角線是否有沖突
    while (i >= 0 && j >= 0)
    {
        if (arr[i][j])
        {
            return false;
        }
        --i;
        --j;
    }
    i = row - 1;
    j = column + 1;
    // 判斷負斜對角線是否有沖突
    while (i >= 0 && j <= ArSize - 1)
    {
        if (arr[i][j])
        {
            return false;
        }
        --i;
        ++j;
    }
    return true;
}
// 打印每種正確的解法
void outPut(bool arr[ArSize][ArSize])
{
    ++num;
    cout << "**********************" << num << "*********************" << endl;
    for (int i = 0; i < ArSize; ++i)
    {
        for (int j = 0; j < ArSize; ++j)
        {
            cout << arr[i][j] << " ";
        }
        cout << endl;
    }
    cout << "*********************************************" << endl;
}

　　輸出結果的部分截圖如下：

 

 

參考資料：

http://www.cnblogs.com/yonggandefeng/p/6275861.html