【數學建模】day14-建立GM(1,1)預測評估模型應用

學習建立GM(1,1)灰色預測評估模型，解決實際問題：

SARS疫情對某些經濟指標的影響問題

一、問題的提出

　　2003 年的 SARS 疫情對中國部分行業的經濟發展產生了一定影響，特別是對部分 疫情較嚴重的省市的相關行業所造成的影響是顯著的，經濟影響主要分為直接經濟影響 和間接影響。直接經濟影響涉及商品零售業、旅游業、綜合服務等行業。很多方面難以 進行定量的評估，現僅就 SARS 疫情較重的某市商品零售業、旅游業和綜合服務業的影 響進行定量的評估分析。 

　　究竟 SARS 疫情對商品零售業、旅游業和綜合服務業的影響有多大，已知某市從 1997 年 1 月到 2003 年 12 月的商品零售額、接待旅游人數和綜合服務收入的統計數據如下面三表所示。

　　

　　

　　

　　試根據這些歷史數據建立預測評估模型，評估 2003 年 SARS 疫情給該市的商品零 售業、旅游業和綜合服務業所造成的影響。

二、模型的分析與假設

模型分析：

　　根據所掌握的歷史統計數據可以看出，在正常情況下，全年的平均值較好地反映了相關指標的變化規律。這樣，對於每一個經濟指標，考慮從兩部分着手建立預測評估模型：

1. 利用灰色理論建立GM(1,1)模型，根據1997-2002年的平均值序列，預測2003年的平均值。
2. 通過歷史數據計算每一個月的指標值與全年總值之間的關系，並將此關系拓展到2003年，進而預測出2003年每一個月的指標值。進而與真實數據值作比較，從而得出結論。

模型假設：

1. 假設所有的統計數據真實可靠。
2. 假設該市SARS疫情流行期間和結束之后，數據的變化只與SARS疫情的影響有關，不考慮其他隨機因素的影響。
   

三、建立灰色預測模型GM(1,1)

　　由已知數據，對於1997-2002年的某項指標記為A= (a_ij)_6*12,計算每年的平均值作為初始數列。記為：

　　　　　　

　　並要求級比。對x(0)做一次累加得1-AGO序列：

　　　　　　

　　式中：

　　　　　　

　　取x(1)的加權均值序列：

　　　　　　

　　式中，α是確定參數。

　　從而，GM(1,1)的白化微分方程模型為：

　　　　　　

　　其中a是發展灰度，b 是內生控制灰度。

　　相應的灰微分方程為：

　　　　　　

　　或記為：

　　　　

　　

　　這樣，我們就得到了微分方程的解。

　　根據解式，我們可以求出2003年的平均值x拔，從而得到2003年的全年總值Z。

　　另一方面，根據歷史數據，得到第i個月指標值占全年總值的比重為：

　　　　　　

　　此比重拓展到2003年，可以得到2003 年每一個月的指標值V =zu 。

四、模型的求解

　　對三項指標建立的微分方程模型分別求解如下：

　　（1）商品零售額

　　第一指標的數據保存han1.txt，數據如下：

83.0   79.8   78.1   85.1   86.6   88.2   90.3   86.7    93.3    92.5    90.9    96.9 
101.7  85.1   87.8   91.6   93.4   94.5   97.4   99.5   104.2   102.3   101.0    123.5
92.2  114.0   93.3  101.0  103.5  105.2  109.5  109.2   109.6   111.2   121.7    131.3
105.0 125.7  106.6   116.0  117.6  118.0  121.7  118.7   120.2   127.8   121.8   121.9 
139.3 129.5  122.5   124.5  135.7  130.8  138.7  133.7   136.8   138.9   129.6   133.7 
137.5 135.3  133.0   133.4  142.8  141.6  142.9  147.3   159.6   162.1   153.5   155.9 
163.2 159.7  158.4   145.2  124.0  144.1  157.0  162.6   171.8   180.7   173.5   176.5 

　計算的matlab程序如下：

 1 clc,clear
 2  load han1.txt
 3  han1(end,:) = []; %刪除最后一行，即2003年的值
 4 m  = size(han1,2); %矩陣列數
 5 x0 = mean(han1,2); %矩陣每一行均值
 6 x1 = cumsum(x0); %1-AGO序列
 7 alpha = 0.4;
 8  n = length(x0);
 9  z1 = alpha*x1(2:n) +(1-alpha) * x1(1:n-1); %鄰值生成值
10 Y = x0(2:n);
11  B = [-z1,ones(n-1,1)];
12  ab = B\Y %最小二乘擬合參數
13 %下面求年平均值的預測值，取n=6預測下一年度
14 x_hat = (x0(1) - ab(2)/ab(1)) *(exp(-ab(1)*n)-exp(-ab(1)*(n-1)))
15  z = m*x_hat %全年預測值
16 u =sum(han1)/sum(sum(han1)) %根據歷史數據計算每個月的比例值
17 v = z*u %計算每個月的預測值

結果：

ab =

   -0.0993
    85.5985

x_hat =

  162.8793

z =

   1.9546e+03

u =

  1 至 6 列

    0.0794    0.0807    0.0749    0.0786    0.0819    0.0818

  7 至 12 列

    0.0845    0.0838    0.0872    0.0886    0.0866    0.0920

v =

  1 至 6 列

  155.2152  157.7365  146.4023  153.5421  160.1400  159.8337

  7 至 12 列

  165.0649  163.7924  170.5317  173.1473  169.3064  179.8394

　　(2)接待海外旅游人數

　　

　　

　　（3）綜合服務業累計數據

　　

五、模型的結果與分析

　　根據該市的統計報告顯示，2003 年 4、 5、 6 三個月的實際商品零售額分別為 145.2、 124、144.1 億元。在這之前，根據統計部門的估計 4、5、6 三個月份 SARS 疫情對該市 的商品零售業的影響為嚴重，這三個月估計大約損失 62 億元左右。從我們的模型預 測結果來計算，4、5、6 三個月的損失為 60.1 億元，這個數基本與專家的估計值相符， 8 月基本恢復正常，這也說明了模型的正確性和可靠性。

　　對於旅游業來說是受影響嚴重的行業之一，嚴重的 4、5、6、7 四個月就損失 100 多萬人，按新統計數據，平均每人消費 1002 美元計算，大約損失 10 億美元。全 年大約損失 162 萬人，約合 16.2 億美元，到年底基本恢復正常。

　　對於綜合服務業中的部分行業影響較大，如航空交通運輸、賓館餐飲等，但有些 行業影響不大，如電信、通訊等，總平均來看，影響還不算太大，5、6、7、8 四個月 大約損失 70 億元。

　　該模型雖是就某經濟指標的發展規律進行評估預測而建立的，但類似地也適用於 其它方面的一些數據規律的評估預測問題，即該模型具有很廣泛的應用性。
 

　　不足之處：此處並沒有做GM(1,1)的模型檢驗。