【數學建模】灰色系統理論II-Verhulst建模-GM(1,N)-GM(2,1)建模

本文轉載自查看原文 2018-08-03 10:59 933

灰色系統理論中，GM(1,1)建模很常用，但他是有一定適應范圍的。

GM(1,1)適合於指數規律較強的序列，只能描述單調變化過程。對於具有一定隨機波動性的序列，我們考慮使用Verhulst預測模型，或者GM(2,1)模型。

Verhulst和GM(2,1)適合於非單調的擺動發展序列或者具有飽和狀態的 S 形序列。

Verhulst預測模型

Verhulst模型的定義如下：

對於模型參數，使用最小二乘估計有以下結果：

最終，可以求得灰色Verhulst的解為：

Verhulst模型應用：道路交通事故預測

對於交通事故死亡人數統計數據，我們首先做出大體曲線變化圖，以從整體上着手。

可見曲線呈現S型，考慮使用verhulst建模。建模過程如下：

最后我們還要進行一步模型精度檢驗。灰色模型有一套具體的檢驗標准，后注。

檢驗三個指標：相對誤差、絕對關聯度、均方差比值。利用MATLAB檢驗結果如下：

可見：

平均相對誤差為 3.74% ，則模型精度為二級；同時算得絕對關聯度 g 為 0.9845，
均方差比值 C 為 0.2355，則模型精度為一級，可見模型精度較高，可用於事故預測。

附MATLAB程序：

 1 clc,clear
 2  x1=[4.93 5.33 5.87 6.35 6.63 7.15 7.37...
 3  7.39 7.81 8.35 9.39 10.59 10.94 10.44];
 4  n = length(x1);
 5  nian=1990:2003;
 6  plot(nian,x1,'o-');
 7 x0=diff(x1); %作累減生成
 8 x0=[x1(1),x0]
 9  z1=0.5*(x1(2:n)+x1(1:n-1)) %求緊鄰均值生成序列
10 B=[-z1',z1'.^2]
11  Y=x0(2:end)'
12  ab_hat=B\Y %估計參數 a,b 的值
13 x=dsolve('Dx+a*x=b*x^2','x(0)=x0'); %求解常微分方程
14 x=subs(x,{'a','b','x0'},{ab_hat(1),ab_hat(2),x1(1)}); %代入參數值
15 yuce=subs(x,'t',0:14) %計算預測值
16 %下面顯示微分方程的解，為了提高計算精度，把該語句放在計算預測值之后
17 x=vpa(x,6)
18  x1_all=[x1,9.92,10.71]; %加上 2004 年的兩個觀測值
19 yuce(16)=yuce(15); %2004 年有兩個觀測值，要對應兩個相同的預測值
20 epsilon=x1_all-yuce %計算殘差
21 delta=abs(epsilon./x1_all) %計算相對誤差
22 delta_mean=mean(delta) %計算平均相對誤差
23 x1_all_0=x1_all-x1_all(1); %觀測值數據列的始點零化像
24 yuce_0=yuce-yuce(1); %預測值數據列的始點零化像
25 s0=abs(sum(x1_all_0(2:end-1))+0.5*x1_all_0(end));
26  s1=abs(sum(yuce_0(2:end-1))+0.5*yuce_0(end));
27  tt=yuce_0-x1_all_0;
28  s1_s0=abs(sum(tt(2:end-1))+0.5*tt(end));
29  absdegree=(1+s0+s1)/(1+s0+s1+s1_s0) %計算灰色絕對關聯度
30 c=std(epsilon,1)/std(x1_all,1) %計算標准差比值