數學建模算法
- 可以使用多個算法求解同一個問題，相互印證比較，寫進論文中可以增色不少。
目錄
線性規划
- 標准形式：向量均為列向量，最后一條語句中缺少的項使用
[]代替 - 化成求最小值，約束不等式為
<=號； - 腳本的最后配合輸出語句使用
- 切記切記：列向量每行使用
;隔開 x為列向量，可以不是\(n*1\),可以是\(n*2\)等等
插值 && 擬合 && 逼近
- 插值： 插值曲線一定要經過樣本點，即使樣本點有誤差也要嚴格經過樣本點，這就要求樣本點數據正確無誤的時候使用插值（對象：散點），三次樣條插值使用很廣泛
- 擬合：在插值的基礎上有了誤差分析，不嚴格要求進過所有樣本點，只要求構造函數描述整體趨勢並使得誤差最小。（對象：散點）
- 函數逼近：擬合是構造函數對散點擬合，函數逼近是對已知的復雜函數，通過構造一個較簡單的函數或多項式，使得數據接近原來的復雜函數
層次分析法(計算權重）
方法步驟
- 應用：解決選擇最佳問題。給出一系列影響選擇的因素，按照因素之間的相互關聯和相對重要程度，綜合考慮這些因素，做出最佳選擇。
- 當各行各列嚴格成比例時，表示完全一致性
實例
- 構造比較矩陣
A矩陣為A1，A2，..…..，A5之間兩兩比較的結果，如：A1:A3=4，結合前面圖的成對比較陣標度表，表示對於最佳選擇來說，A1（景色）比A3（居住）大於稍微重要但是又小於明顯重要。
B1，B2，..…B5表示三個地方在這5個因素之間的對比。如：B1中第一行的2表示在景色方面蘇杭比北戴河要稍微好一些（結合成對比較陣標度表）這些矩陣的填寫主觀性很強，可以通過查找相關資料稍微減少主觀性
% 按要求輸入比較矩陣即可得出每個因素相對於目標來說的權值
% 注意矩陣的輸入格式，代碼無需修改直接使用
disp('請輸入成對比較矩陣A(n階)');
A=input('A=');
[n,n]=size(A);
x=ones(n,100);
y=ones(n,100);
m=zeros(1,100);
m(1)=max(x(:,1));
y(:,1)=x(:,1);
x(:,2)=A*y(:,1);
m(2)=max(x(:,2));
y(:,2)=x(:,2)/m(2);
p=0.0001;i=2;k=abs(m(2)-m(1));
while k>p
i=i+1;
x(:,i)=A*y(:,i-1);
m(i)=max(x(:,i));
y(:,i)=x(:,i)/m(i);
k=abs(m(i)-m(i-1));
end
a=sum(y(:,i));
w=y(:,i)/a;
t=m(i);
disp(w);
%以下是一致性檢驗
CI=(t-n)/(n-1);RI=[0 0 0.52 0.89 1.12 1.26 1.36 1.41 1.46 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 1.59];
CR=CI/RI(n);
if CR<0.10
disp('此矩陣的一致性可以接受!');
disp('CI=');disp(CI);
disp('CR=');disp(CR);
end
- 圈住的部分表示5個影響因素的權值，CI和CR可以不用管
- 根據得到的權值，進行權值傳遞（其實就是對應權值相乘再累加）得到最低層對最終目標的取值，根據權值大小可以得出最佳選擇
- 答案的正確性程度取決於成對比較矩陣的合理性
模型拓展
- 多准則層，一層一層計算即可
- 每個准則層對應自己的方案層，非當前准則層的因素的權重設置為0即可，具體看付費群的論文
多屬性決策模型（計算屬性值）
+
- 屬性值的歸一化處理，在上面的得分數據組中，比如：不一定每個得分都是百分制的，可能有些是十分制的。屬性值量綱不一致時，通過歸一化處理全部轉化為百分制形式。
例子
- 利用上一講的層析分析計算權值
- 利用加權平均算子，結合屬性權值和屬性值計算每個企業的總得分
灰色預測（小樣本回歸分析）
和常見預測方法的區別：
- 常見預測方法：一些常用的預測方法，像回歸分析，需要大量樣本，，若樣本較小會造成較大的誤差
- 灰色預測：此模型所需建模信息少，建模精度高，處理小樣本預測問題的有效工具
特點
-
不直接使用原始數據，對原始數據進行處理生成新的數據，用於預測（原始數據一般雜亂無章，但是內部必然存在某種規律，只不過被表象所掩蓋），常見生成灰色預測數據的方式：累加生成，類減生成，均值生成，級比生成
-
累加生成：其實就是前綴和
-
GM(1,1)模型精度檢驗（適用於較強指數規律序列，描述單調變化，非單調的擺動或者飽和S形使用其他模型（參加數學建模算法與應用））
- 只有通過檢驗的模型才能用來預測，常用精度檢驗方法：相對誤差大小檢驗法，關聯度檢驗法，后驗差檢驗法
- 后驗差檢驗法
模擬退火算法
- 模擬物理退火，使總能量達到最低值，系統達到平衡狀態，也就是可以用來求最小值，乘上-1或者取倒數可以用來求解最大值。
- 從某一初始溫度開始，伴隨問題的不斷下降，結合概率突跳特性在解空間中隨機尋找全局最優解
主成分分析法
主成分分析，因子分析，層次分析法比較
- 主成分分析法，因子分析法，層次分析法，前兩種方法是多維變量的降維處理，簡化數據的，后一種主觀賦權的綜合評價方法
- 對於少數據樣本不如因子分析有用，但是數據量較大時，主成分分析方法就有用武之地了
- 主成分分析法：線性變換進行降維，將多指標轉化為幾個不相關的綜合指標（主成分），每個主成分都是原始變量的線性組合，主成分幾乎保留原始變量的全部信息，達到抓住問題實質的目的
- 因子分析：主成分的推廣，不是對原始變量的取舍，而是根據原始變量和信息進行重新組合，找出變量的公共因子，化簡數據
神經網絡
-
一般有兩種神經網咯，bp神經網絡（有導師學習方式訓練，誤差逆傳播算法），RBF神經網絡（有很強的逼近能力，分類能力，學習速度）
-
一般使用RBF，更簡單智能，相比BP神經網絡要自定義神經元個數，RBF會在訓練過程中自適應取定神經元個數，RBF代碼參考《數學建模算法與應用》，最后的誤差分析參考《MATLAB與機器學習》
-
RBF神經網絡只有一個參數可調，《數學建模算法與應用》中這個參數是缺省值，參數值越小誤差越大，但是當這個參數值達到1e5數量級的時候，誤差也很大，這個參數要根據實際情況取合適的值。
