GM11灰色模型

作者：桂。

時間：2017-08-12  08:34:06

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前言

　　灰色模型（Gray model）常用來對數據進行預測，這里簡要記錄其思路。

一、名稱由來

灰色模型（Gray Model）,鄧聚龍教授1982年提出。

　　常見系統分類：

• 白色系統是指一個系統的內部特征是完全 已知的，即系統的信息是完全充分的。

• 黑色系統是指一個系統的內部信息對外界來說是一無所知的，只能通過它與外界的聯系來加以觀測研究。

• 灰色系統內的一部分信息是已知的，另一部分信息是未知的，系統內各因素間有不確定的關系。

通常成灰色預測模型為GM（n,h）模型，常用來預測的是GM(1，1)：

二、算法原理

　　A-模型建立

有觀測序列：

計算一階累加序列：

其中

假設生成序列的一階模型（ 核心思想）：

對其積分（連續轉化為離散）：

而

從而上式轉化為：

其中：

借助矩陣表示：

這便是一個 最小二乘求解問題。

 　　B-參數求解

定義：

計算均值生成序列：

得出參數估計

　　C-序列預測

這里取

將其帶入上面一階方程解（參數已求出）

取t為離散值（t = k+1）

而

這樣便完成了預測。

三、代碼實現

主函數

clc;clear all;close all
set(0,'defaultfigurecolor','w');
%{
參考：《離散模型與灰色預測模型建模機理》，謝乃明，劉思峰
本程序主要用來計算根據灰色理論建立的模型的預測值。
應用的數學模型是 GM(1,1)。
原始數據的處理方法是一次累加法。
%}
f = @(t,b)(0.3*t.^2+b+0.3*randn(1,length(t)));%定義待預測函數
t = 0:.2:5;
b = 3;
x0 = f(t,b);
x_pre = GM11(x0);
plot(t,x0,'k',t,x_pre,'r--');
xlabel('時間(年)');
ylabel('幅度');
title('GM11預測模型');
legend('原始數據','預測數據');

GM11的function：

function x_pre = GM11(x0)
x0 = x0(:);
n = length(x0);
x1 = cumsum(x0);
for i = 1:n-1
    G(i,1) = -(x1(i)+x1(i+1))/2;
    G(i,2) = 1;
end
Y = x0(2:end);
belta = pinv(G'*G)*G'*Y;
a = belta(1);
u = belta(2);
%predict
x_pre1 = zeros(n,1);
x_pre = x_pre1;
for k = 0:n-1
    x_pre1(k+1) = (x0(1)-u/a)*exp(-a*k)+u/a;
end
x_pre(1) = x0(1);
for k = 1:n-1
    x_pre(k+1) = x_pre1(k+1)-x_pre1(k);
end

結果圖：