一，簡介
退火算法不言而喻，就是鋼鐵在淬煉過程中失溫而成穩定態時的過程，熱力學上溫度（內能）越高原子態越不穩定，而溫度有一個向低溫區輻射降溫的物理過程，當物質內能不再降低時候該物質原子態逐漸成為穩定有序態，這對我們從隨機復雜問題中找出最優解有一定借鑒意義，將這個過程化為算法，具體參見其他資料。
二，計算方程
我們所要計算的方程是f(x) = (x - 2) * (x + 3) * (x + 8) * (x - 9),是一個一元四次方程，我們稱為高次方程，當然這個函數的開口是向上的，那么在一個無限長的區間內我們可能找不出最大值點，因此我們嘗試在較短區間內解最小值點，我們成為最優解。
解法1：
毫無疑問，數學方法多次求導基本可以解出，但是這個過程較復雜，還容易算錯，我就不贅述了，讀者有時間自己可以嘗試解一下。
解法二：
這個解法就是暴力解決了，我們這里只求解區間[-10,10]上的最優解，直接隨機200個點，再除以10（這樣可以得到非整數橫坐標），再依此計算其縱坐標f（x），min{f(x)}一下，用list的index方法找出最小值對應位置就行了，然后畫出圖形大致瞄一瞄。
直接貼代碼：
1 import random 2 import matplotlib.pyplot as plt 3 4 list_x = [] 5 # for i in range(1): 6 # #print(random.randint(0,100)) 7 # for i in range(0,100): 8 # print("sss",i) 9 # 10 # list_x.append(random.randint(0,100)) 11 for i in range(-100,100): 12 list_x.append(i/10) 13 14 print("橫坐標為：",list_x) 15 print(len(list_x)) 16 17 18 list_y = [] 19 for x in list_x: 20 # print(x) 21 #y = x*x*x - 60*x*x -4*x +6 22 y = (x - 2) * (x + 3) * (x + 8) * (x - 9) 23 list_y.append(y) 24 print("縱坐標為：",list_y) 25 26 #經驗證，這里算出來的結果6.5和最優解1549都是對的 27 print("最小值為：",min(list_y)) 28 num = min(list_y) 29 print("最優解：",list_y.index(num)/10) 30 print("第",list_y.index(num)/10-10,"個位置取得最小值") 31 32 plt.plot(list_x, list_y, label='NM') 33 #plt.plot(x2, y2, label='Second Line') 34 plt.xlabel('X') #橫坐標標題 35 plt.ylabel('Y') #縱坐標標題 36 #plt.title('Interesting Graph\nCheck it out',loc="right") #圖像標題 37 #plt.title('Interesting Graph\nCheck it out') 38 plt.legend() #顯示Fisrt Line和Second Line（label）的設置 39 plt.savefig('C:/Users/zhengyong/Desktop/1.png') 40 plt.show()
得到如下結果：
那么我們得出最優解的坐標是（6.5，-1549.6875），結果先放這里，接下來用退火算法看能不能解出。
解法三：
我們看一張圖（解法二中的方法得出的圖），然后講講退火算法的最核心的思想。
首先，先隨機一個[-10.10]之間的隨機解，作為初始解空間，比方說隨機了一個位於[-2.5.2.5]中最高的那個點就是點1(橫坐標為x1)，他有對於的縱坐標的值y1，這時候我們把這個點的橫坐標隨機加或者減去一個值（注意這個值的大小很重要，我們先叫他隨機移動值），加或者減后得到新的橫坐標的值x2，再算出這個橫坐標的對應縱坐標（y2），對比之前的縱坐標的大小，這里設置
delta = y2-y1，發現無論怎樣都是小於原先的縱坐標（前提是隨機移動值足夠小），這時候我們把新得到的x2賦值給x1，這時候現在的x2的值傳給x1，x1是原先隨機的值，這個過程可以重復iter_num 次，大小就根據自己的區間來。
上述的整個過程是在一個溫度下進行的，這個過程結束后我們用溫度更新公式再次的更新溫度，再去重復上述步驟。
溫度更新我是用的常用的公式是T(t)=aT0(t-1)，其中0.85≦a≦0.99。也可用相應的熱能衰減公式來計算，T(t)=T0/(1+lnt),t=1,2,3,...，這都是簡單的狀態更新方法。
也就是說，不管你隨機的是幾我都能朝着優化的方向前進（前提是非最優點）。
其次，點2 是同理的，區別在於他是局部最優解，那么跳出這個局部最優解的機制是什么呢？
若初始點是（x3,y3）,然后用上述方法得出（x4,y4），在點二處得到的delta肯定是大於0的，那么怎么辦呢？當大於0的時候我們每次都有一定的概率來接受這個看起來不是最優的點，叫Metropolis准則，具體是這樣的：
這里的E就是y，T就是當前溫度，delta小於0就是百分百接受新值，否者就是按照這個概率接受，當迭代多次的時候，每次向右移動的步長累加到點1 時候他就有可能找到最終的最優解了，步長是累加的但是概率是累成的，意味着這個概率很小，但是一旦迭代次數多久一定會跑出來到最優解處。
最優，點3不解釋了哈，和上面一樣。
那么我們上代碼：
1 #自己改寫的退火算法計算方程(x - 2) * (x + 3) * (x + 8) * (x - 9)的計算方法 2 #class沒啥用 3 import numpy as np 4 import matplotlib.pyplot as plt 5 from matplotlib import pyplot as plt 6 7 8 #設置基本參數 9 #T初始溫度，T_stop，iter_num每個溫度的迭代次數，Q溫度衰減次數 10 class Tuihuo_alg(): 11 def __init__(self,T_start,iter_num,T_stop,Q,xx,init_x): 12 self.T_start = T_start 13 self.iter =iter_num 14 self.T_stop = T_stop 15 self.Q = Q 16 self.xx = xx 17 self.init_x = init_x 18 # def cal_x2y(self): 19 # return (x - 2) * (x + 3) * (x + 8) * (x - 9) 20 21 22 if __name__ == '__main__': 23 24 def cal_x2y(x): 25 #print((x - 2) * (x + 3) * (x + 8) * (x - 9)) 26 return (x - 2) * (x + 3) * (x + 8) * (x - 9) 27 T_start = 1000 28 iter_num = 1000 29 T_stop = 1 30 Q = 0.95 31 K = 1 32 l_boundary = -10 33 r_boundary = 10 34 #初始值 35 xx = np.linspace(l_boundary, r_boundary, 300) 36 yy = cal_x2y(xx) 37 init_x =10 * ( 2 * np.random.rand() - 1) 38 print("init_x:",init_x) 39 40 t = Tuihuo_alg(T_start,iter_num,T_stop,Q,xx,init_x) 41 42 val_list = [init_x] 43 while T_start>T_stop: 44 for i in range(iter_num): 45 init_y = cal_x2y(init_x) 46 #這個區間(2 * np.random.rand() - 1)本身是（-1,1），所以加上就是一個隨機加或者減過程 47 new_x = init_x + (2 * np.random.rand() - 1) 48 if l_boundary <= new_x <= r_boundary: 49 new_y = cal_x2y(new_x) 50 #print("new_x:",new_x) 51 #print('new_y:',new_y) 52 delta = new_y - init_y #新減舊 53 if delta < 0: 54 init_x = new_x 55 else: 56 p = np.exp(-delta / (K * T_start)) 57 if np.random.rand() < p: 58 init_x = new_x 59 #print("new_x:",new_x) 60 #print("當前溫度：",T_start) 61 T_start = T_start * Q 62 63 print("最優解x是：", init_x) #這里最初寫的是new_x,所以結果一直不對 64 print("最優解是：", init_y) 65 #比如我加上new_x，真假之間的誤差實際就是最后一次的賦值“init_x = new_x” 66 print("假最優解x是：", new_x) #這里最初寫的是new_x,所以結果一直不對 67 print("假最優解是：", new_y) 68 69 xx = np.linspace(l_boundary,r_boundary,300) 70 yy = cal_x2y(xx) 71 plt.plot(xx, yy, label='Tuihuo') 72 #plt.plot(x2, y2, label='Second Line') 73 plt.xlabel('X for tuihuo') #橫坐標標題 74 plt.ylabel('Y for tuihuo') #縱坐標標題 75 #plt.title('Interesting Graph\nCheck it out',loc="right") #圖像標題 76 #plt.title('Interesting Graph\nCheck it out') 77 plt.legend() #顯示Fisrt Line和Second Line（label）的設置 78 plt.savefig('C:/Users/zhengyong/Desktop/1.png') 79 plt.show()
這里用了class，發現並不需要，但是不想改了，就這樣吧。
最優結果為：
得出的示意圖為：
三，總結
退火算法的具體思想我沒怎么講，但是核心的點我都寫出來了，經過驗證發現退火算法得出了（6.551677228904226，-1548.933671426107）的最優解，看看解法二的（6.5，-1549.6875），我們發現，呵呵，差不多，誤差來講的話，能接受，當然讀者也可以多跑幾個數據出來驗證。
我的實驗環境是Python3.6，Numpy1.14.3，matplotlib2.2.2，64位win10，1709教育版，OS內核16299.547，就這樣吧，盡量講詳細點。