Codeforces 1005F Berland and the Shortest Paths 【最短路樹】【性質】

其實是一道裸題，如果沒學過最短路樹的話會比較難做，要想很久想到關鍵性質才能做出來。

最短路樹顧名思義，就是從一個圖中生成出來一棵樹，使得每個頂點到root的距離是單源最短路。如果有這樣的樹的話，那可見這樣的樹是符合題意的。

怎么生成這樣的樹呢？關鍵在於記錄前驅father，一個距離root最短路是6的點必定從一個距離root最短路是5的點到達（這兩個點之間一定會有一條邊）。所以我們對於所有頂點 2-n，每個頂點u我們找dis[u] = dis[v]+1的情況，這樣的話v就是u的前驅。若v，u之間有一條邊，那u到root的最短路就解決了【因為如果v到root的最短路不變，那u也不變】，原問題就變成了子問題，這就是這么建樹 正確性的理解。

所有合法前驅記錄完后，我們dfs下枚舉所有前驅就可以了。【最多能生成father[2].size() * father[3].size() * ... * father[n].size()個合法答案】

#include<iostream>
#include<vector>
#include<map>
#include<cstring>
#include<queue>
using namespace std;

char comp[200005];
vector< pair<int,int> > edge[200005];
vector<int> father[200005];
vector<string> ans;
int dis[200005],n,k;
queue< pair<int,int> > q;

void dfs(int u){
    if( ans.size()>=k ) return;
    if(u==n+1) { ans.push_back(comp+1); return;}//建完了 
    for(int i=0;i<father[u].size();i++){
        comp[ father[u][i] ] = '1';//從眾多前驅中挑一個
        dfs(u+1);
        comp[ father[u][i] ] = '0'; 
    }
}

int main(){
    int m; cin>>n>>m>>k;
    for(int i=1;i<=m;i++){
        int u,v; scanf("%d %d",&u,&v);
        edge[u].push_back( make_pair(v,i) );
        edge[v].push_back( make_pair(u,i) );//建兩條邊 
    }
    
    
    memset(dis,-1,sizeof(dis));
    for (int i = 1; i <= m; i++) comp[i] = '0';
    //維護出dis數組
    q.push( make_pair(1,0) ); dis[1]=0;
    while(!q.empty()){
        pair<int,int> pa = q.front(); q.pop();
        int u=pa.first,d=pa.second;
        for(int i=0;i<edge[u].size();i++){
            int v=edge[u][i].first;
            if( dis[v]==-1 ) {
                dis[v]=d+1;
                q.push( make_pair(v,d+1) );
            } 
        }
    }
    //找最短路數里每個頂點的前驅 
    for(int i=2;i<=n;i++){
        for(int j=0;j<edge[i].size();j++){
            if( dis[i]==dis[ edge[i][j].first ]+1 ) father[i].push_back( edge[i][j].second );
        }
    }
    
    dfs(2);//從2開始建樹 
    if(ans.size()>=k){
        cout<<k<<endl;
        for(int i=0;i<k;i++) cout<<ans[i]<<endl;
    }
    else{
        cout<<ans.size()<<endl;
        for(int i=0;i<ans.size();i++) cout<<ans[i]<<endl;
    }
    
    
    return 0;
}