關於for循環的時間復雜度

  今天在看算法時，遇見了一些問題，想了很久，現總結如下，關於for循環的時間復雜度。我們知道當一重for循環時

package Suanfa;

public class Fortest {
  public static void main(String[] args) {
      int n=100,count=0;
    for(int i=0;i<n;i++) {
        if(true) {
            count++;
        }
    }
}
}

這是最簡單的for循環，count執行n次，時間復雜度是N；

如果是for的二重循環呢

package Suanfa;

public class Fortest {
    public static void main(String[] args) {
        int k=100 ,count=0;
        for(int i=0;i<k;i++)
            for(int j=i+1;j<k;j++)
                {
                    if(true)
                        count++;
                }
        System.out.println("k值為："+k);
        System.out.println("count值為    :"+count);
    }
}

 可以看見count輸出4950；一般剛接觸時，就會覺得這事件復雜度是n的平方，當然一般這樣說也沒錯，但是你有沒想過，為什么k輸入是100時，count輸出是4950，如果k是其他值呢，

count又會是什么，兩者之間有什么關系？如果for是三重循環又會是怎樣呢？

三重循環的情況如下：

package Suanfa;

public class Test {
    public static void main(String[] args) {
        int k=100 ,count=0;
        for(int i=0;i<k;i++)
            for(int j=i+1;j<k;j++)
                for(int x=j+1;x<k;x++)
                {
                    if(true)
                        count++;
                }
        System.out.println("k值為："+k);
        System.out.println("count值為    :"+count);
        
    }

}

 

可以看見count輸出為161700，當然你也可以試着把k改小一點，當然你要試着探究k和count的關系，在二重for循環、三重for循環、甚至

更多for的情況下，現在我們先討論二重for循環下 的情況：假定k值為n；那么要使if語句能夠執行；需滿足

i    0 　　1　　2　　3　　...... n-2　　n-1

j   1　　 2        3       4      ......   n-1.     

當i為0時，j可取1到n-1,使得if語句能夠有效執行；同理i=1時，j可取2到n-1;

i=0;  j = 1,2,3,4.....n-1;（if語句執行 （n-1）-1+1 次  即 n-1次）

i =1 ,j =2,3,4....n-1;  （if語句執行 （n-1）-2+1 次  即n-2次）

i=2 , j =3,4,5...n-1;

...

i=n-2,j =n-1  (if語句執行一次）

可得if語句執行的總次數為：  （n-1+1）(n-1-1+1)/2 = (n-1)*n/2,你也可以理解為C（2 n）(姑且這樣表示吧），這個東東不知道怎么表示，就是和二項式系數有關的那個，2是上角標，n是下角標;

C（2 n）=n*(n-1)/(2*1);

三重循環時：假定k值為n；那么要使if語句能夠執行；需滿足：

i    0 　　1　　2　　3　　......         n-3　　

j   1　　 2        3       4      ......          n-2.     

x   2　　3　　4　　5　　........        n-1

經過如上推算，可得 if語句執行總次數為  C(3 n) = n*(n-1)*(n-2)/(3*2*1)=n*(n-1)*(n-2)/6;

四重for循環 ， 可得 if語句執行總次數為    C(3 n) = n*(n-1)*(n-2)*（n-4）/(4*3*2*1)=n*(n-1)*(n-2)/24;

如果你覺得哪里不對，可以指出，歡迎評論，本文將不定期更新。