離散數學圖論作業：頂點和邊均不重復，證明連通圖中這樣的通路至少多長？

題目：

 

證明如下：

（1）若min取|V(G)| - 1，那么，δ(G) ≧ 1 / 2 * (|V(G)| -  1)，即δ(G) ≧ 1 / 2 * |V(G)|。由狄拉克定理，圖中存在哈密頓通路，長度即為|V(G)| - 1。

（2）若min取2δ(G)，則取G中的極大的簡單通路。易知通路端點只能與內點相連（否則這不是一條極大通路）。如果通路長度小於2δ(G)，則設通路的點分別為v₁, v₂, ..., v_n，若有 i 滿足1 ≦ i ≦ n，使得v₁與v_{i + 1}，v_n與v_i連通，那么這就是一個回路，從回路外任意一點連向此回路即可得到一個更長的通路。下面證明這個回路存在。

 

　　1' 若|V(G)|為奇數，則首先v₁要從除v₂,v_n外的n - 3個點中選擇至少(n - 1) / 2個點來連接，以滿足其度大於等於δ(G)的條件。選擇之后，v_n也要從除v_{n - 1}，v₁外的n - 3個點中選擇至少(n - 1) / 2個點連接。這n - 3個點中已經有(n - 1) / 2個點使得連接后會出現前述的回路，剩余的點只有n - 3 - ((n - 1) / 2) = (n - 5) / 2個點可供選擇。由鴿籠原理，必然有滿足條件的回路存在。

　　2' 與1'同理，若|V(G)|為偶數，v_n可選擇的n - 3個點中已有n / 2個點被選，剩下的只有n / 2 - 2個點，由鴿籠原理，滿足條件的回路存在。

綜上所述，題設得證。