哈密頓圖
一、定義概念
1.哈密頓通路
設G=<V,E>為一圖（無向圖或有向圖）.G中經過每個頂點一次且僅一次的通路稱作哈密頓通路
2.哈密頓回路
G中經過每個頂點一次且僅一次的回路（通路基礎上+回到起始點）稱作哈密頓回路
3.哈密頓圖
若G中存在哈密頓回路，則稱它是哈密頓圖
4.定義詳解：
（1）存在哈密頓通路（回路）的圖一定是連通圖；
（2）哈密頓通路是初級通路，哈密頓回路是初級回路；
（3）若G中存在哈密頓回路，則它一定存在哈密頓通路，反之不真（看課本的話，是必要條件，而不是充分條件，故不可反推！）
（4）只有哈密頓通路，無哈密頓回路的圖不叫哈密頓圖；即，哈密頓圖是回路
二、判定定理
注意：目前還沒有找到哈密頓圖的簡單的充要條件
（1）設無向圖G=<V,E>為哈密頓圖，V1是V的任意真子集，則（注：n階xx圖指的是n個頂點，不要迷！）
p(G-V1)<=|V1|
其中，p(G-V1)為G中刪除V1后的所得圖的連通分支數目，|V1|為V1集合中包含的頂點個數。【哈密頓圖存在的必要條件】
推論：有割點的圖一定不是哈密頓圖
設v是圖中的割點，則p(G-v)>=2,由上述定理知G不是哈密頓圖
（2）設G是n(n>=3)階無向簡單圖，若對於G中的每一對不相鄰的頂點u,v,均有
d(u)+d(v)>=n-1
則G中存在哈密頓通路。又若
d(u)+d(v)>=n
則G中存在哈密頓回路，即G為哈密頓圖。【哈密頓圖存在的充分條件，不是必要條件】
其中d(u),d(v)分別代表頂點u,v的度數。
推論：設G是n(n>=3)階無向簡單圖，若G的最小度>=n/2,則G是哈密頓圖。
由推論知，對於完全圖Kn,當n>=3時，是哈密頓圖，完全二部圖Kr,s當r==s>=2時是哈密頓圖。
（3）在n(n>=2)階有向圖D=<V,E>中，如果略去所有有向邊的方向，所得無向圖中含生成子圖Kn,則D中存在哈密頓通路。
推論：n(n>=3)階有向完全圖是哈密頓圖。
1.常用方法判斷是哈密頓圖：
（1）若能通過觀察找出圖G中的一條哈密頓回路，則G當然是哈密頓圖。
（2）若一個無向圖G滿足上述（2）中的條件，一個有向圖D滿足上述（3）的推論的條件，則G、D都是哈密頓圖。
2.破壞哈密頓圖存在的必要條件，判定不是哈密頓圖：
設n階圖G是哈密頓圖，則G應該滿足以下諸條件：
（1）G必須是連通圖；
（2）G中的邊數m必須大於等於頂點數n；
（3）若G中存在2度頂點v,即d(v)=2,則與v關聯的兩條邊ei,ej必須在G中的任何哈密頓回路上；
（4）若G中存在每條哈密頓回路中出現的邊，不能構成邊數小於n的初級回路（圈）；
破壞以上諸條件中的任意一條，都不是哈密頓圖。
加一道例題：
證明：某次國際會議8人參加已知每人至少與其余7人中的4人有共同語言問服務員能否將他們安排在同一張圓桌就坐是的每個人都能與兩邊的人交談？請用圖論中的原理來解釋原因。
==d(任意頂點)>=4;
任意選取兩個不相鄰頂點（i,j），d(i)+d(j)>=4+4>8-1;
故存在哈密頓通路（即可以遍歷頂點一圈（每個一次）--成為圈----對應一張圓桌）