導數與積分總結
前言
其實這些東西大多數都可以在高中數學書中找到......
導函數
導數是什么
導數是用於解決瞬時變化率的。
例如，給定一個物理直線運動的\(s-t\)圖，即函數\(f(t) = s\)，求某一時刻\(t\)的瞬時速度。
直接求是不可能的(這輩子都不可能的)，所以考慮用短時間的平均速度來代替瞬時速度。
即 \(v = Lim_{\Delta t\to 0} \frac{f(t+\Delta t) - f(t)}{\Delta t}\)。
真正把這個函數在坐標軸上畫出來可以發現，這個值趨近\(t\)點的斜率。
這個\(v\)即\(f(t)\)在\(t\)點的導數
導數的相關概念
導數\(f'(x)\)即函數\(f(x)\)在\(x\)點的變化速率。
導數\(f'(x)\)在圖形上趨近於函數\(f(x)\)在\(x\)點的斜率。
多次取導的結果\(f^{[n]}(x)\)稱為\(f(x)\)的\(n\)階導數。
令\(d = Lim_{\Delta t \to 0} \Delta t\)，那么\(f'(x) = \frac{df(x)}{dx}\)。
移項后就變成了常用的積分求導形式：\(df(x) = f'(x) dx\)。
我們稱\(f(x)\)為\(f'(x)\)的原函數，\(f'(x)\)為\(f(x)\)在\(x\)點的導數。
常用導數公式
- \(C' = 0\)
- \((x^a)' = ax^{a-1}\)
- $sin'(x) = cos(x) $
- \(cos'(x) = -sin(x)\)
- \((a^x)' = a^x ln(a)\)
- \((e^x)' = e^x\)
- \(ln'(x) = \frac{1}{x}\)
- \(log_y'(x) = \frac{1}{x\ ln(y)}\)
導數的運算法則
- \([cf(x)]' = cf'(x)\)
- \([f(x) + g(x)]' = f'(x) + g'(x)\)
- \([f(x) - g(x)]' = f'(x) - g'(x)\)
- \([f(x)*g(x)\ ]' = f(x)g'(x) + g(x)f'(x)\)
- \([\frac{f(x)}{g(x)}]' = \frac{f'(x)g(x) - g'(x)f(x)}{g^2(x)}\)
- 令\(u = g(x)\ ,\ [f(g(x))]' = f'(u)*g'(x)\)
牛頓迭代法
這是多項式相關內容的推導根基。
求解一個函數\(f(x) = 0\) 的解\(x\)，咋解？
畫圖可以發現，先隨便選擇一個解\(x_0\)，
我們將每次選擇點的斜率直線畫出，該直線與\(x\)軸的交點\(x\)一定比當前點更接近答案。
斜率直線是啥？導數！
所以\(slope = f'(x_0) = \frac{f(x_0) - f(x)}{x_0 - x}\)。
移項后就得到：
不斷迭代下去我們就可以找到一個比較精准的解了。
微積分
還是上面那個問題(微分)
一輛車的速度\(v\)隨時間\(t\)滿足\(v(t) = F(t) = t^3\)，其中\(F(t)\)是一個函數。
如何求\(1\)秒之內，這輛車的移動距離？
顯然對應到數軸上就是\(F(x)\)與\(x\)軸和\(y\)軸圍成圖形的面積。
類似人教版高中物理必修一第二章的勻變速運動推導方法，我們來微分。
把一秒分為\([0,\frac{1}{n}]\)、\([\frac{1}{n},\frac{2}{n}]\)、....、\([\frac{n-1}{n},1]\)這樣的\(n\)段。
我們近似的設第\(i\)段的速度為這一段的起始點時的速度，即\(\Delta s_i = F(\frac{i-1}{n}) * \frac{1}{n}\)
那么\(\Delta s_i = \frac{(i-1)^3}{n^4}\)。
然后在把\(s_i\)累加起來，\(S = \sum_{i=1}^n s_i = \frac{1}{n^4} \sum_{i=1}^n (i-1)^3\)
有公式\(\sum_{i=0}^{n-1} i^3 = \frac{1}{4} n^2(n+1)^2\)，所以\(S = \frac{(n+1)^2}{4n^2} = \frac{1}{4} (1 + \frac{1}{n})^2\)。
顯然，\(Lim_{n \to 0}\)，所以\(S = \frac{1}{4}(1 + 0) = \frac{1}{4}\)，求出了答案。
上面這個過程就是微分。
還有嗎？(積分)
現在給出這輛車的\(s-t\)圖像(函數\(F(x)\))，這個圖像沒有任何規律可言。
現在希望知道，在\(1\)秒后，這輛車的移動距離是多少。
報告！我秒了這個問題，\(S = F(1) - F(0)\)！
顯然這個結果是正確的，因為這是\(s-t\)圖像嗎...... 我們來試着用微分思想解決。
還是把時間分為\(n\)段：\([0,\frac{1}{n}]\)、\([\frac{1}{n},\frac{2}{n}]\)、....、\([\frac{n-1}{n},1]\)。
那么答案等於\(S = \sum_{i=1}^n \Delta s_i = \sum_{i=1}^n v(\frac{i-1}{n})\frac{1}{n}\)。
那么\(v(\frac{i-1}{n})\)等於蛤？ 仔細回顧了一發導數知識，\(v(\frac{i-1}{n}) = F'(\frac{i-1}{n})\)。
所以說\(S = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n F'(\frac{i-1}{n})\)。當\(Lim_{n\to 0}\)時，\(S = \sum_{i\in[0,1]} F'(i)\)。
那個\(\sum\)太丑了，我們把它記為\(S = \int_{0}^1 F'(x)dx = F(1) - F(0)\)。這個過程就是積分。
微積分的相關概念
微分運算類似於求導，即將原函數的每部分進行求導。
積分運算為求導的逆運算，\(f(x)\)的積分結果為其原函數\(F(x)\)。
這個運算叫做不定積分，記為\(F(x) = \int f(x) dx\)。
在積分中，記\(f(r) - f(l) = |^r_l f(x)\)
定積分則是求解一個連續區間的\(f(x)\)和，記為\(F(x) = \int_{l}^r f(x)dx\)。
上面的積分的例子中，得到了積分中最重要的牛頓-萊布尼茲公式：
所以說如果要求解\(f(x)\)的定積分，
那么只需要找到它的原函數\(F(x)\)即可，而找原函數又可以用不定積分完成。
常用積分公式
- \(\int c\ dx= cx + C\)
- \(\int x^a\ dx = \frac{x^{a+1}}{a+1} + C\)
- \(\int \frac{1}{x}\ dx = ln(|x|) + C\)
- \(\int e^x\ dx = e^x + C\)
- \(\int a^x\ dx = \frac{a^x}{ln(a)} + C\)
- \(\int cos(x)\ dx = sin(x) + C\)
- \(\int sin(x)\ dx = -cos(x) + C\)
積分運算法則
- \(\int f(cx)dx = \int \frac{1}{c}f(cx)dcx\)
- \(\int cf(x) = c\int f(x)\)
- \(\int [f(x)+g(x)] = \int f(x) + \int g(x)\)
- \(\int [f(x)-g(x)] = \int f(x) - \int g(x)\)
復合函數的積分：
復合函數由於沒有基本公式，所以無法進行直接積分。
一般來說，我們需要將復合函數化成基本函數，過程中注意積分對象\(dx\)的變化。
舉個例子：求\(\int cos^2(mx)dx\)
\(\int cos^2(mx)dx = \int cos^2(x) \frac{1}{m}dmx = \frac{1}{m}\int cos^2(mx)dmx\)
我們先通過提出系數，使積分對象與積分函數變量一致。
\(\frac{1}{m}\int cos^2(mx)dmx = \frac{1}{m} \int \frac{cos(2mx) + 1}{2} dmx = \frac{1}{2m} \int cos(2mx) dmx + \frac{1}{2} x\)
現在積分那個部分是有基本公式的了,所以
\(\frac{1}{2m} \int cos(2mx) dmx = \frac{1}{4m} \int cos(2mx)\ d2mx = \frac{1}{4m} sin(2mx)\)。
所以綜上，原式\(= \frac{1}{4m} sin(2mx) + \frac{1}{2} x\)，然后就化完啦！