LeetCode（96）： 不同的二叉搜索樹

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題目描述：

給定一個整數 n，求以 1 ... n 為節點組成的二叉搜索樹有多少種？

示例:

輸入: 3
輸出: 5
解釋:
給定 n = 3, 一共有 5 種不同結構的二叉搜索樹:

   1         3     3      2      1
    \       /     /      / \      \
     3     2     1      1   3      2
    /     /       \                 \
   2     1         2                 3

解題思路：

這道題實際上是 Catalan Number卡塔蘭數的一個例子，如果對卡塔蘭數不熟悉的童鞋可能真不太好做。先來看當 n = 1的情況，只能形成唯一的一棵二叉搜索樹，n分別為1,2,3的情況如下所示：

 

                    1                        n = 1

                2        1                   n = 2
               /          \
              1            2
  
   1         3     3      2      1           n = 3
    \       /     /      / \      \
     3     2     1      1   3      2
    /     /       \                 \
   2     1         2                 3

 

就跟斐波那契數列一樣，我們把n = 0 時賦為1，因為空樹也算一種二叉搜索樹，那么n = 1時的情況可以看做是其左子樹個數乘以右子樹的個數，左右字數都是空樹，所以1乘1還是1。那么n = 2時，由於1和2都可以為跟，分別算出來，再把它們加起來即可。n = 2的情況可由下面式子算出：

dp[2] =  dp[0] * dp[1]　　　(1為根的情況)

　　　　+ dp[1] * dp[0]　　  (2為根的情況)

同理可寫出 n = 3 的計算方法：

dp[3] =  dp[0] * dp[2]　　　(1為根的情況)

　　　　+ dp[1] * dp[1]　　  (2為根的情況)

 　　　  + dp[2] * dp[0]　　  (3為根的情況)

由此可以得出卡塔蘭數列的遞推式為：

我們根據以上的分析，可以寫出代碼如下：

C++解法一：

我們根據以上的分析，可以寫出代碼如下：

class Solution {
public:
    int numTrees(int n) {
        vector<int> dp(n + 1, 0);
        dp[0] = 1;
        dp[1] = 1;
        for (int i = 2; i <= n; ++i) {
            for (int j = 0; j < i; ++j) {
                dp[i] += dp[j] * dp[i - j - 1];
            }
        }
        return dp[n];
    }
};