整數和浮點數的表示方法

第一次寫博客，沒什么經驗，會保持更新的，文章也會不斷優化的，請大家多多指教

整數表示

現代計算機存儲和處理的信息以二值表示，也即是只包含0和一的二進制數字，其中整數表示的方法分為有符號整數、無符號整數。常用的數字表示方法有二進制、十進制、八進制、十六進制。下表為十六進制、十進制、和二進制的對應表示法。

十六進制	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F
十進制	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
二進制	0000	0001	0010	0011	0100	0101	0110	0111	1000	1001	1010	1011	1100	1101	1110	1111

無符號整數

B2U() 為將二進制數轉換為無符號數的函數
B2U[0001] = 0 * 2^3 + 0 * 2^2 + 0 * 2^1 + 1 * 2^0 = 1;
B2U[0101] = 0 * 2^3 + 1 * 2^2 + 0 * 2^1 + 1 * 2^0 = 5;
B2U[0001] = 0 * 2^3 + 0 * 2^2 + 0 * 2^1 + 1 * 2^0 = 1;
B2U[0001] = 0 * 2^3 + 0 * 2^2 + 0 * 2^1 + 1 * 2^0 = 1;

設計算機為w位（上為4位，現在計算機一般為64位），則可以表示最大無符號整數為：(2^w - 1)，最小為：0;

有符號整數

B2T[0001] = 0 * 2^3 + 0 * 2^2 + 0 * 2^1 + 1 * 2^0 = 1;
B2T[0101] = 0 * 2^3 + 1 * 2^2 + 0 * 2^1 + 1 * 2^0 = 5;
B2T[1011] = -1 * 2^3 + 0 * 2^2 + 0 * 2^1 + 1 * 2^0 = -5;
B2T[1111] = -1 * 2^3 + 0 * 2^2 + 0 * 2^1 + 1 * 2^0 = -1;

設計算機為w位（上為4位，現在計算機一般為64位），則可以表示最大無符號整數為：(2^(w-1) - 1)，最小為：(-2^(w-1));

浮點數表示

二進制小數

以下為個人理解，先舉個例子：

十進制表示	小數值	二進制表示
1	1	000001
0.5	1/2	00000.1
0.25	1/4	0000.01
0.125	1/8	000.001
0.75	3/4	0000.11
1.5625	25/16	01.1001

∉εεεεεεεε
仔細看就會返現一個規律：
1的二進制表示為：000001，除以8，即2^3
3的二進制表示為：000011，除以4，即2^2
25的二進制表示為：011001，除以16，即2^4
沒錯，整數減少一倍，二進制中小數點右移一位，如果整數增加一倍，則二進制中小數左移一位

IEEE浮點表示

目前所有的計算機都支持的表示浮點數的標准
V = (-1)^s * M * 2^E

• 數值（value）V
• 符號（sign）s決定這數是負數（s = 1）還是正數（s = 0），而對於數值0的符號位解釋作為特殊情況處理。
• 尾數（significand）M是一個二進制小數，他的范圍是1_{(2-ε)，或者是0}(1-ε)。
• 階碼（exponent）E的作用是對浮點數加權，這個權重是2的E次冪（可能是負數）。
  將浮點數的位划分為三個字段，分別對這些值進行編碼：
• 一個單獨的符號位s直接編碼符號s。
• k位的階碼字段exp = e(k-1) + ... + e(0)編碼階碼E
• n位小數字段frac = f(n-1) + ... + f(0)編碼尾數M，但是編碼出來的值也依賴於階碼字段的值是否等於0。

最常見的單精度浮點格式float32位：s 1位，exp k=8位，frac n = 23位。
雙精度浮點格式double：s 1位， exp k = 11位，frac n = 52位。