浮點數的表示和運算

目錄

• 浮點數的表示
  • 浮點數基本格式
  • 浮點數的規格化
    • 規格化浮點數的特點
  • IEEE 754標准
• 浮點數的運算
  • 加減運算
    • 0.轉換格式（用補碼表示階碼和尾數）
    • 1.對階
    • 2.尾數加減
    • 3.規格化
    • 4.舍入
    • 5.判溢出
  • 強制類型轉換

浮點數的表示

計算機沒辦法表示小數點。

定點數：如純小數0.1011和純整數11110

科學計數法

十進制：299792458m/s=2.998*10^8m/s

浮點數

以適當的形式將比例因子表示在數據中，讓小數點的位置根據需要而浮動

相當於使用兩個定點數拼接而成的

浮點數基本格式

階碼E反映浮點數的表示范圍及小數點的實際位置；尾數M的數值部分的位數n反映浮點數的精度

例子：

注意，正數的補碼還是自己

漏了1位

如此操作

浮點數的規格化

規格化：規定尾數的最高數位必須試一個有效值

左規：當浮點數運算的結果為非規格化時要進行規格化處理，將尾數左移一位，階碼減1（基數為2時）

右規：當浮點數運算的結果尾數出現溢出（雙符號位為01或10）時，將尾數右移一位，階碼加1（基數為2時）

右規例子：

規格化浮點數的尾數M的絕對值應滿足：1/r≤|M|≤1

規格化浮點數的特點

IEEE 754標准

一般形式

隱藏表示最高位1

若尾數是xx...xxx則表示尾數1.xx..xxx

短浮點數float，單精度

長浮點數double，雙精度

\[規格化的短浮點數的真值：(-1)^S*1.M*2^{E-127} \]

\[規格化的長浮點數的真值：(-1)^S*1.M*2^{E-1023} \]

浮點數的運算

加減運算

浮點數加減運算步驟：

1. 對階
2. 尾數加減
3. 規格化
4. 舍入
5. 判溢出

0.轉換格式（用補碼表示階碼和尾數）

寫成小數形式，尾碼右移，階碼加

寫成補碼（取反+1），題目中要求階符2位

擴展尾數：11.011000000

y也進行相同處理

1.對階

使兩個操作數的小數位置對齊。求階差，小階變大階，尾數每右移一位，階碼+1

11111是-1的補碼

向右移動了1位，階碼+1

2.尾數加減

階碼這時候已經相等了。

尾數相加減，注意，出現了溢出

3.規格化

右規，記得階碼+1

4.舍入

這里舍掉的是0，無舍入

“0”舍“1”入法：類似於十進制數運算中的“四舍五入”法，即在尾數右移時，被移去的最高數值位為0，則舍去；被移去的最高數值位為1，則在尾數的末位加1.這樣做可能會使尾數又溢出，此時需要在做一次右規。

恆置“1”法：尾數右移時，不論丟掉的最高數值位是“1”還是“0”，都使右移后的尾數末位恆置“1”。這種辦法同樣有使尾數變大和變小的兩種可能。

5.判溢出

常階碼，無溢出，結果真值為2^-3*(-0.1001111)_2

強制類型轉換

機器字長：機器一次運算所能處理的數據長度

小轉大：不產生任何問題

范圍、精度從小到大，轉換過程沒有損失。

\[int：范圍-2^{31}...2^{31}-1,有效數字32位 \]

\[float：范圍±[2^{-126}...2^{127}*(2-2^{-23})]，有效數字23+1=24位 \]

int->float：可能損失精度

float->int：可能溢出及損失精度