好久沒寫數論題，今天在51nod抓了一道，發現自己早就把杜教篩忘得一干二凈啦~ 所以今天我把杜教篩學習筆記整理一下，防止以后再次忘記 =v=
[Warning] 杜教篩復雜度證明我暫時還不會 >_< 我會抓緊時間學的
前置技能
如果你已經了解了以下某些部分的內容，請跳過該部分。
積性函數
$f$是一個數論函數，若對於任意兩個互質的數$a$和$b$有$f(a*b) = f(a)*f(b)$，則稱$f$是積性函數。
（本文可能用到的）常見積性函數
- $1(n) = 1$
- \(Id(n) = n\)
- \(e(n) = [n == 1]\)
- \(d(n)\) 因數個數
- \(\sigma(n)\) 因數之和
- \(\mu(n)\) 莫比烏斯函數
- \(\varphi(n)\) 歐拉函數
狄利克雷卷積
兩個數論函數$f$和$g$對於$n$的狄利克雷卷積$(f * g)(n)\(是\)\sum_{d | n}f(d)g(\frac)$。
兩個積性函數的狄利克雷卷積也是積性函數（此時$n$是傳入函數中的參數），即：若$f$和$g$是積性函數，\(h(n) = \sum_{d | n}f(d)g(\frac{n}{d})\)，則$h$是積性函數。
常見狄利克雷卷積
- \(\mu * 1 = e\)，即$\sum_{d|n}\mu(d) = [n == 1]$
- \(\mu * Id = \varphi\)，即$\sum_{d|n}\mu(d)\frac = \varphi(n)$
- \(\varphi * 1 = Id\)，即$\sum_{d|n}\varphi(d) = n$
杜教篩
杜教篩是用來在$O(n^\frac{2}{3})$時間內求一些積性函數的前綴和的。
假設我們要求前綴和的函數是$f$，它的前綴和為$S$， 即$S(n) = \sum_^f(i)$。
我們選擇一個積性函數$g$用來和$f$卷一卷。（$g$是哪來的？怎么求？……不知道，因題而定，基本靠猜 = =）
然后求一下$f*g$的前綴和：
\(\begin{align*} \sum_{i = 1}^{n} (f*g)(i) &= \sum_{i = 1}^{n}\sum_{d|i}g(d)f(\frac{i}{d}) \\&= \sum_{d = 1}^{n}g(d)\sum_{d|i} f(\frac{i}{d}) \\ &= \sum_{d = 1}^ng(d)S(\lfloor\frac{n}{d}\rfloor) \\ &= g(1)S(n) + \sum_{d = 2}^{n}g(d)S(\lfloor\frac{n}{d}\rfloor) \\&= S(n) + \sum_{d = 2}^{n}g(d)S(\lfloor\frac{n}{d}\rfloor) \end{align*}\)
那么移項可得
\(S(n) = \sum_{i = 1}^{n} (f*g)(i) - \sum_{d = 2}^{n}g(d)S(\lfloor\frac{n}{d}\rfloor)\)
如果這個$(f*g)(n)$的前綴和非常好求的話，$S(n)\(就可以數論分塊（看！那有個\)\lfloor\frac\rfloor$！）然后遞歸求解下去了。（這里需要用個哈希表之類的東西記憶化。）
栗子
求$\varphi$的前綴和
\(\varphi * 1 = Id\)，那么
\(\begin{align*}S(n) &= \sum_{i = 1}^{n} (\varphi*1)(i) - \sum_{d = 2}^{n}g(d)S(\lfloor\frac{n}{d}\rfloor) \\ &= \sum_{i = 1}^{n} i - \sum_{d = 2}^{n}g(d)S(\lfloor\frac{n}{d}\rfloor) \\ &= \frac{n (n + 1)}{2}- \sum_{d = 2}^{n}g(d)S(\lfloor\frac{n}{d}\rfloor) \end{align*}\)
遞歸求解即可。
我的代碼：
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <map>
#define space putchar(' ')
#define enter putchar('\n')
typedef long long ll;
using namespace std;
template <class T>
void read(T &x){
char c;
bool op = 0;
while(c = getchar(), c < '0' || c > '9')
if(c == '-') op = 1;
x = c - '0';
while(c = getchar(), c >= '0' && c <= '9')
x = x * 10 + c - '0';
if(op) x = -x;
}
template <class T>
void write(T x){
if(x < 0) putchar('-'), x = -x;
if(x >= 10) write(x / 10);
putchar('0' + x % 10);
}
const int N = 5000000, P = 1000000007, inv2 = 500000004, S = 1333333;
ll n, m;
int phi[N], sum[N], prime[N], tot, idx;
int adj[S], nxt[S], val[S];
ll num[S];
bool notprime[N];
void add(ll u, ll v){
num[++idx] = u;
val[idx] = v;
nxt[idx] = adj[u % S];
adj[u % S] = idx;
}
ll find(ll u){
for(int e = adj[u % S]; e; e = nxt[e])
if(num[e] == u) return val[e];
return -1;
}
void init(){
phi[1] = 1;
for(ll i = 2; i <= m; i++){
if(!notprime[i]) prime[++tot] = i, phi[i] = i - 1;
for(int j = 1; j <= tot && i * prime[j] <= m; j++){
notprime[i * prime[j]] = 1;
if(i % prime[j]) phi[i * prime[j]] = phi[i] * (prime[j] - 1);
else{
phi[i * prime[j]] = phi[i] * prime[j];
break;
}
}
}
for(ll i = 1; i <= m; i++)
sum[i] = (sum[i - 1] + phi[i]) % P;
}
ll calc(ll x){
if(x <= m) return sum[x];
ll ret = find(x);
if(ret != -1) return ret;
ret = (x + 1) % P * (x % P) % P * inv2 % P;
for(ll i = 2, last; i <= x; i = last + 1){
last = x / (x / i);
ret = (ret - (last - i + 1) % P * calc(x / i)) % P;
}
ret = (ret + P) % P;
add(x, ret);
return ret;
}
int main(){
read(n), m = pow(n, 2.0 / 3) + 0.5;
init();
write(calc(n)), enter;
return 0;
}