好久没写数论题，今天在51nod抓了一道，发现自己早就把杜教筛忘得一干二净啦~ 所以今天我把杜教筛学习笔记整理一下，防止以后再次忘记 =v=
[Warning] 杜教筛复杂度证明我暂时还不会 >_< 我会抓紧时间学的
前置技能
如果你已经了解了以下某些部分的内容，请跳过该部分。
积性函数
$f$是一个数论函数，若对于任意两个互质的数$a$和$b$有$f(a*b) = f(a)*f(b)$，则称$f$是积性函数。
（本文可能用到的）常见积性函数
- $1(n) = 1$
- \(Id(n) = n\)
- \(e(n) = [n == 1]\)
- \(d(n)\) 因数个数
- \(\sigma(n)\) 因数之和
- \(\mu(n)\) 莫比乌斯函数
- \(\varphi(n)\) 欧拉函数
狄利克雷卷积
两个数论函数$f$和$g$对于$n$的狄利克雷卷积$(f * g)(n)\(是\)\sum_{d | n}f(d)g(\frac)$。
两个积性函数的狄利克雷卷积也是积性函数（此时$n$是传入函数中的参数），即：若$f$和$g$是积性函数，\(h(n) = \sum_{d | n}f(d)g(\frac{n}{d})\)，则$h$是积性函数。
常见狄利克雷卷积
- \(\mu * 1 = e\)，即$\sum_{d|n}\mu(d) = [n == 1]$
- \(\mu * Id = \varphi\)，即$\sum_{d|n}\mu(d)\frac = \varphi(n)$
- \(\varphi * 1 = Id\)，即$\sum_{d|n}\varphi(d) = n$
杜教筛
杜教筛是用来在$O(n^\frac{2}{3})$时间内求一些积性函数的前缀和的。
假设我们要求前缀和的函数是$f$，它的前缀和为$S$， 即$S(n) = \sum_^f(i)$。
我们选择一个积性函数$g$用来和$f$卷一卷。（$g$是哪来的？怎么求？……不知道，因题而定，基本靠猜 = =）
然后求一下$f*g$的前缀和：
\(\begin{align*} \sum_{i = 1}^{n} (f*g)(i) &= \sum_{i = 1}^{n}\sum_{d|i}g(d)f(\frac{i}{d}) \\&= \sum_{d = 1}^{n}g(d)\sum_{d|i} f(\frac{i}{d}) \\ &= \sum_{d = 1}^ng(d)S(\lfloor\frac{n}{d}\rfloor) \\ &= g(1)S(n) + \sum_{d = 2}^{n}g(d)S(\lfloor\frac{n}{d}\rfloor) \\&= S(n) + \sum_{d = 2}^{n}g(d)S(\lfloor\frac{n}{d}\rfloor) \end{align*}\)
那么移项可得
\(S(n) = \sum_{i = 1}^{n} (f*g)(i) - \sum_{d = 2}^{n}g(d)S(\lfloor\frac{n}{d}\rfloor)\)
如果这个$(f*g)(n)$的前缀和非常好求的话，$S(n)\(就可以数论分块（看！那有个\)\lfloor\frac\rfloor$！）然后递归求解下去了。（这里需要用个哈希表之类的东西记忆化。）
栗子
求$\varphi$的前缀和
\(\varphi * 1 = Id\)，那么
\(\begin{align*}S(n) &= \sum_{i = 1}^{n} (\varphi*1)(i) - \sum_{d = 2}^{n}g(d)S(\lfloor\frac{n}{d}\rfloor) \\ &= \sum_{i = 1}^{n} i - \sum_{d = 2}^{n}g(d)S(\lfloor\frac{n}{d}\rfloor) \\ &= \frac{n (n + 1)}{2}- \sum_{d = 2}^{n}g(d)S(\lfloor\frac{n}{d}\rfloor) \end{align*}\)
递归求解即可。
我的代码：
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <map>
#define space putchar(' ')
#define enter putchar('\n')
typedef long long ll;
using namespace std;
template <class T>
void read(T &x){
char c;
bool op = 0;
while(c = getchar(), c < '0' || c > '9')
if(c == '-') op = 1;
x = c - '0';
while(c = getchar(), c >= '0' && c <= '9')
x = x * 10 + c - '0';
if(op) x = -x;
}
template <class T>
void write(T x){
if(x < 0) putchar('-'), x = -x;
if(x >= 10) write(x / 10);
putchar('0' + x % 10);
}
const int N = 5000000, P = 1000000007, inv2 = 500000004, S = 1333333;
ll n, m;
int phi[N], sum[N], prime[N], tot, idx;
int adj[S], nxt[S], val[S];
ll num[S];
bool notprime[N];
void add(ll u, ll v){
num[++idx] = u;
val[idx] = v;
nxt[idx] = adj[u % S];
adj[u % S] = idx;
}
ll find(ll u){
for(int e = adj[u % S]; e; e = nxt[e])
if(num[e] == u) return val[e];
return -1;
}
void init(){
phi[1] = 1;
for(ll i = 2; i <= m; i++){
if(!notprime[i]) prime[++tot] = i, phi[i] = i - 1;
for(int j = 1; j <= tot && i * prime[j] <= m; j++){
notprime[i * prime[j]] = 1;
if(i % prime[j]) phi[i * prime[j]] = phi[i] * (prime[j] - 1);
else{
phi[i * prime[j]] = phi[i] * prime[j];
break;
}
}
}
for(ll i = 1; i <= m; i++)
sum[i] = (sum[i - 1] + phi[i]) % P;
}
ll calc(ll x){
if(x <= m) return sum[x];
ll ret = find(x);
if(ret != -1) return ret;
ret = (x + 1) % P * (x % P) % P * inv2 % P;
for(ll i = 2, last; i <= x; i = last + 1){
last = x / (x / i);
ret = (ret - (last - i + 1) % P * calc(x / i)) % P;
}
ret = (ret + P) % P;
add(x, ret);
return ret;
}
int main(){
read(n), m = pow(n, 2.0 / 3) + 0.5;
init();
write(calc(n)), enter;
return 0;
}