版權申明：本文為博主窗戶(Colin Cai)原創，歡迎轉帖。如要轉貼，必須注明原文網址 http://www.cnblogs.com/Colin-Cai/p/9123363.html 作者：窗戶 QQ：6679072 E-mail：6679072@qq.com
教一個基本沒編過什么程序的朋友scheme，為什么教scheme呢？因為他想學，因為一直聽我鼓吹，而他覺得他自己多少有C語言一點基礎，而又因為我覺得函數式才像數學，而過程式是偏向物理現實的，感覺不夠抽象。當然，對於一個成年人來說，有着太多的生活、學習、工作經驗，這些很多因為是物理現實，很有過程式的意思，對於理解遞歸這種數學抽象總覺得是不容易的。我告訴他，這個和你曾經讀書時學的C語言有天壤之別。但無論如何，我決定試一試。
理解了前綴表達，理解了基本的遞歸，想想還是從這里開始吧。
我給出了三個函數：eq0，用來判斷是否為0；inc，用來得到一個自然數的后繼數；dec，用來得到一個自然數是哪個自然數的后繼（有個特例，0不是任何數的后繼，這里返回0）。然后讓他借助scheme的遞歸，其余的只利用這三個函數來構造加減乘除乃至余數、乘方、對數。
;使用這三個函數實現自然數內的加減乘除乘方對數(《遞歸論》里的運算,除法和對數都是向下取整，減法被減數小於減數得到0) (define (eq0 x) (= x 0)) (define (inc x) (+ x 1)) (define (dec x) (if (= x 0) 0 (- x 1)))
遞歸論里都是自然數內部的函數，當然遞歸論其實本質上不過是用自然數（一個特殊的可列集）內的遞歸來模擬所有的運算，因為本質上我們一個確定的計算都是針對可列集。自然數里的計算搞定了，所有可計算問題都可以等價的轉為自然數內的計算。
當然，上升到遞歸論層次，有些東西還是難懂的，比如一般遞歸算子和原始遞歸算子的理解。不過，如果只是學習函數式編程，而不是為了學習數學，一些東西可以庸俗化一點。
很顯然，這個問題是難到他了，半天連加法似乎沒有出來。於是我決定啟發一下他。我們可以這樣去考慮遞歸：
我們知道任何一個數加0都等於自身，那么假設計算4+3，可以這樣考慮遞歸的過程，
4+3=5+2=6+1=7+0=7
也就是x+y往(x+1)+(y-1)的方向去遞歸，直到第二個數字遞歸到0為止。
很快這位仁兄寫出了以下代碼
(define (add x y)
(if (eq0 y) x
(add (inc x) (dec y))
)
)
再接再厲，減法也是前后兩個數逐漸dec，直到兩個有一個變為0，嗯，也很快搞定(因為是自然數內的，這里的減法小的數減大的數結果為0，遞歸論里定義的減法就是這樣)
(define (sub x y)
(if (eq0 x) 0
(if (eq0 y) x
(sub (dec x) (dec y))
)
)
)
我然后說，這里其實可以縮減一下(0 dec還是0)
(define (sub x y)
(if (eq0 y) x
(sub (dec x) (dec y))
)
)
做乘法的時候，遇到了困難，於是我就提醒了一下，其實x*y，y=0的時候為0，y不為0的時候,x*y=x*(y-1)+x，所以可以這樣寫
(define (mul x y) (if (eq0 y) 0 (add x (mul x (dec y))) ) )
他不可理解了，說add不是剛才定義過的嗎，為什么現在就可以用了？我頓時明白了他之所以為難的原因，於是解釋說，當然可以用，我們數學里面不是為了證明一個定理，很多時候先去證明一個引理嘛。他頓時理解了。
然后我接着說，如果不直接用也是可以的，只是復雜一些。我用3*3來解釋這個問題，我需要記錄過程狀態：
3 3 0 0
3 2 3 0
3 2 2 1
3 2 1 2
3 2 0 3
3 1 3 3
3 1 2 4
3 1 1 5
3 1 0 6
3 0 3 6
3 0 2 7
3 0 1 8
3 0 1 9
左邊第一個是被乘數，第二個是乘數，第四個是累計的結果。
計算過程規則如下：
(1)最開始的時候，第三個數和第四個數都為0。
(2)當第三個數為0的時候，第三個數減1，第四個數加1。
(3)當第三個數為0的時候，如果乘數不為0，就借一個被乘數過來，然后乘數減1；如果乘數為0，那么第四個累計的結果就是乘積。
作為函數式編程使用附加的值只能再加參數，於是有了這樣的計算方法：
(define (_mul x y x2 r) (if (eq0 x2) (if (eq0 y) r (_mul x (dec y) x r) ) (_mul x y (dec x2) (inc r)) ) ) (define (mul x y) (_mul x y 0 0) )
他很驚訝於原來還可以這么干，不過很快理解了我的做法，然后我又告訴他，因為這個_mul是為了解決mul臨時定義出來的函數，如同證明中的引理，可以寫到mul的定義里面，寫成
(define (mul x y) (define (_mul x y x2 r) (if (eq0 x2) (if (eq0 y) r (_mul x (dec y) x r) ) (_mul x y (dec x2) (inc r)) ) ) (_mul x y 0 0) )
接着，很快，他很快完成了乘方，
(define (pow x y) (if (eq0 y) 1 (mul x (pow x (dec y))) ) )
嗯，還算可以，至少會舉一反三，只是0的任意次冪為0，但0的0次冪嘛。。。算了，索性x不能等於0，算解決了。
除法（自然數內的除法這里只考慮整數部分）也很快做完，
(define (div x y) (if (> y x) 0 (inc (div (sub x y) y)) ) )
我“嗯？”了一下，然后說我這里只定義了一個謂詞eq0，並沒有定義>
然后我提醒他需要定義>，他搞不定了。
於是還是得我來寫，
(define (> x y) (if (eq0 x) #f (if (eq0 y) #t (> (dec x) (dec y)) ) ) )
其實，也可以用之前的減法定義>
(define (> x y) (if (eq0 (- x y)) #f #t))
接着，他完成了余數和對數
(define (rem x y) (if (> y x) x (rem (sub x y) y) ) ) ;這里的對數，是實數下對數的整數部分 (define (log x y) (if (> y x) 0 (inc (log (div x y) y)) ) )
然而對數的實現稍有問題（當然，不考慮x,y為0，y為1的情況），也不符合這個函數我想讓他寫成的樣子，不過我不得不說他寫對了，與其說是寫對了，倒不如說是蒙對了，因為這個的寫法是需要一個數學證明的（不要忘了，div返回的只是整數）。
證明在這里我就不贅述了，我希望他完成的大致應該如下：
(define (log x y) (define (_log x y y^r r) (if (> y^r x) (dec r) (_log x y (mul y^r y) (inc r)) ) ) (_log x y 1 0) )
不過整體來說，我還算滿意，畢竟只學了一點點時間，能在指導下搞定這么些，已經挺不錯。