點到直線方程的距離、垂足、對稱點


問題描述1:

已知點的坐標(x0,y0),直線的方程為Ax+By+C = 0;求點到直線上的距離d、點在直線上的垂足(x, y)、點關於直線的對稱點(x’, y‘)。

解決方法:

(1)距離:

         d = ( Ax0 + By0 + C ) / sqrt ( A*A + B*B );

         這個“距離”有符號,表示點在直線的上方或者下方,取絕對值表示歐式距離。

(2)垂足:

         求解兩個方程:(a)、Ax + By + C = 0;(b)、(y - y0) / (x - x0) = B / A;

         解得,x = (  B*B*x0  -  A*B*y0  -  A*C  ) / ( A*A + B*B );

                    y  =  ( -A*B*x0 + A*A*y0 - B*C  ) / ( A*A + B*B );

(3)對稱點:

         方法一:求解兩個方程:(a)、A*( x’+x0 ) / 2 + B*( y‘+y0 ) / 2 + C = 0; (b)、(y’ - y0) / (x‘ - x0) = B / A;

         方法二:把問題轉化為求解已知點關於垂足的對稱點:

                首先,求出垂足;則x’ = 2*x - x0; y‘ = 2*y - y0;

                解得,x’ = ( (B*B - A*A)*x0 - 2*A*B*y0 - 2*A*C ) / ( A*A + B*B );

                           y‘ = ( -2*A*B*x0 + (A*A - B*B) * y0 - 2*B*C ) / ( A*A+B*B );

         方法三:首先,求一系數k,k = - 2 * (A*x0 + B*y0 + C) / (A*A+B*B);

                 則,   x' = x0 + k * A;

                           y' = y0 + k * B;

    /**
     * Description 求點到直線的垂足
     * 
     * @param x1
     *            點橫坐標
     * @param y1
     *            點縱坐標
     * @param A
     *            直線方程一般式系數A
     * @param B
     *            直線方程一般式系數B
     * @param C
     *            直線方程一般式系數C
     * @return 垂足點
     */
    private static Point getFootOfPerpendicular(double x1, double y1, double A, double B, double C) {
        if (A * A + B * B < 1e-13)
            return null;

        if (Math.abs(A * x1 + B * y1 + C) < 1e-13) {
            return new Point(x1, y1);
        } else {
            double newX = (B * B * x1 - A * B * y1 - A * C) / (A * A + B * B);
            double newY = (-A * B * x1 + A * A * y1 - B * C) / (A * A + B * B);
            return new Point(newX, newY);
        }
    }

    /**
     * Description 點到直線的距離
     * 
     * @param x1
     *            點橫坐標
     * @param y1
     *            點縱坐標
     * @param A
     *            直線方程一般式系數A
     * @param B
     *            直線方程一般式系數B
     * @param C
     *            直線方程一般式系數C
     */
    private static double getDistanceOfPerpendicular(double x1, double y1, double A, double B, double C) {
        double distance = Math.abs((A * x1 + B * y1 + C) / Math.sqrt(A * A + B * B));
        return distance;
    }

    public static void main(String[] args) {
        // 直線方程為 :-1*x+1*y+0=0,也就是y=x+0
        double A = -1d, B = 1d, C = 0d;
        
        // 點0,1到之前y=x+0的垂足
        Point point = getFootOfPerpendicular(0, 1, -1, 1, 0);
        System.out.println(point.getX() + "," + point.getY());

        // 點0,1到之前y=x+0的距離
        double distance = getDistanceOfPerpendicular(0, 0, -1, 1, 0);
        System.out.println(distance);
    }

問題描述2:

已知點的坐標(x0,y0),直線上的兩點(x1,y1)、(x2,y2);求點到直線上的距離d、點在直線上的垂足(x, y)、點關於直線的對稱點(x’, y‘)。

解決方法:

        方法一:把直線化兩點式為一般式,則一般式中的A = y2 -y1; B = x1 - x2; C = x2*y1 - x1*y2;帶入上面的公式,即可求出相應的距離、垂足、對稱點。

        方法二:

(a)距離:

         首先,求出垂足的坐標;

         則d = sqrt( (x - x0) * (x - x0)  +  (y - y0) * (y - y0));

(b)垂足:

         首先,求一系數 k: 設直線的起點和終點分別為A(x1, y1)、B(x2, y2),直線外一點為C(x0, y0),垂足為D;並設k = |AD| / |AB。

         則,k * AB = AD = AC + CD,又 AB * CD= 0;所以,k * AB* AB = AC *AB,故 k =AC * AB / (AB * AB)。

         帶入坐標,即得, k = ( (x0- x1) * (x2 - x1) + (y0 - y1) * (y2 - y1) )  / ( (x2 - x1) * (x2 - x1) + (y2 - y1) * (y2 - y1) ) ;

         則 x = x1 + k*(x2 - x1); y = y1 + k*(y2 - y1);

(c)對稱點:

         同問題描述1中的方法。

參考《點關於直線的距離、垂足、對稱點公式


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