（1）\(\sum\limits_{i=1}^{n}{({{X}_{i}}-\overline{X})}=0\);
（2）若總體\(X\)的均值、方差存在，且$EX=\mu $， \(DX={{\sigma }^{2}}\)，則
$E\overline{X}=\mu $ ，\(D\overline{X}=\frac{{{\sigma }^{2}}}{n}\)
（3）當$n\to \infty $ 時，$ \overline{X}\xrightarrow{p}\mu $ .
證明 :
（1） \(\sum\limits_{i=1}^{n}{({{X}_{i}}-\overline{X})}\text{=}\sum\limits_{i=1}^{n}{{{X}_{i}}}-n\overline{X}=n\frac{\sum\limits_{i=1}^{n}{{{X}_{i}}}}{n}-n\overline{X}=n\overline{X}-n\overline{X}=0\)
（2） \(E\overline{X}=E(\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}{{{X}_{i}}})=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}{E{{X}_{i}}}=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}{EX}=\mu\) ,
\(D\overline{X}=D(\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}{{{X}_{i}}})=\frac{1}{{{n}^{2}}}\sum\limits_{i=1}^{n}{D{{X}_{i}}}=\frac{1}{{{n}^{2}}}\sum\limits_{i=1}^{n}{DX}=\frac{1}{{{n}^{2}}}n{{\sigma }^{2}}=\frac{{{\sigma }^{2}}}{n}\) .
（3） 由概率論中的大數定律知，當$n\to \infty $ 時，\(\overline{X}\xrightarrow{p}a\) .