矩陣相乘的前提條件是：乘號前的矩陣的列數要和乘號后的矩陣的行數相等。且矩陣的乘法運算沒有交換律，即 A*B 和 B*A 是不一樣的。
例如，矩陣A：
矩陣B：
由於矩陣 A 的列數和矩陣 B 的行數相等，可以進行 A*B 運算（不能進行 B*A 運算）。計算方法是：用矩陣A的第 i 行和矩陣B中的每一列 j 對應的數值做乘法運算，乘積一一相加，所得結果即為矩陣 C 中第 i 行第 j 列的值。
得到的乘積矩陣C為：
例如：C
12 = 6 是因為：A
11*B
12 + A
12*B
22 + A
13*B
32 + A
14*B
42，即 3*2 + 0*0 + 0*4 + 5*0 = 6 ，因為這是 A 的第 1 行和 B 的第 2 列的乘積和，所以結果放在 C 的第 1 行第 2 列的位置。
例如，A是 m1*n1 矩陣，B是 m2*n2 矩陣(前提必須是 n1 == m2 )：
int C[MAX][MAX];
for (int i=0; i<m1; i++)
{ for (int j=0; j<n2; j++)
{ C[i][j]=0; for (int k=0; k<n1; k++)
{ C[i][j]+=A[i][k]*B[k][j]; } } }
O(m1*n2*n1)。
在稀疏矩陣做乘法運算時，由於本身矩陣中含有的非 0 元素少，普通算法會出現很多 0*0 或者 k*0 或者 0*k （ k 代表非 0 元素值）的情況。下面介紹使用行邏輯鏈接的順序表計算矩陣乘積的方法。
行邏輯鏈接的順序表解決矩陣乘積算法
對矩陣的乘積進行深度剖析，矩陣 A 和矩陣 B 相乘的運算過程是這樣的：- 首先，找到矩陣 A 中第一行的非 0 元素，分別是 A11 = 3和 A14 = 5；（由於行邏輯鏈接的順序表中存儲的都是非 0 元素，查找的過程就需要使用記錄每行第一個非 0 元素的首地址的數組來完成）
- 用 3 去和 B 中對應的第一行中的非 0 元素相乘，矩陣 B 中第一行非 0 元素是 B12 = 2，所以 3*2 = 6 ，因為 6 是 A11 和 B12 相乘的結果，所以暫時存放在 C12 中；用 5 去和 B 中對應的第 4 行的非 0 元素相乘，由於矩陣 B 中第 4 行沒有非 0 元素，所以，第一行的計算結束；
- 以此類推。
攻克問題難點
現在，解決問題的關鍵在於，如何知道順序表中存放的非0元素是哪一行的呢？解決方案：由於使用的是行邏輯鏈接的順序表，所以，已經知道了每一個矩陣中的每一行有多少個非0元素，而且第一行的第一個非0元素的位置一定是1。
所以，第 n 行的非0元素的位置范圍是：大於或等於第 n 行第一個元素的位置， 小於第 n+1 行第一個元素的位置（如果是矩陣的最后一行， 小於矩陣中非 0 元素的個數 + 1）。
具體實現代碼
#include <stdio.h> #define MAXSIZE 12500 #define MAXRC 100 #define ElemType int
typedef struct { int i,j; //行，列 ElemType e; //元素值 }Triple;
typedef struct { Triple data[MAXSIZE+1]; int rpos[MAXRC+1]; //每行第一個非零元素在data數組中的位置 int mu, nu, tu; //行數，列數，元素個數 }RLSMatrix;
RLSMatrix MultSMatrix(RLSMatrix A, RLSMatrix B, RLSMatrix C) { //如果矩陣A的列數與矩陣B的行數不等，則不能做矩陣乘運算 if(A.nu != B.mu) return C; C.mu = A.mu; C.nu = B.nu; C.tu = 0; //如果其中任意矩陣的元素個數為零，做乘法元素沒有意義，全是0 if(A.tu * B.tu == 0) return C; else { int arow; int ccol; //遍歷矩陣A的每一行 for(arow=1; arow<=A.mu; arow++) { //創建一個臨時存儲乘積結果的數組，且初始化為0，遍歷每次都需要清空 int ctemp[MAXRC+1] = {}; C.rpos[arow] = C.tu + 1; //根據行數，在三元組表中找到該行所有的非0元素的位置 int tp; if(arow < A.mu) tp = A.rpos[arow+1];//獲取矩陣A的下一行第一個非零元素在data數組中位置 else tp = A.tu+1;//若當前行是最后一行，則取最后一個元素+1 int p; int brow; //遍歷當前行的所有的非0元素 for(p=A.rpos[arow]; p<tp; p++) { brow = A.data[p].j; //取該非0元素的列數，便於去B中找對應的做乘積的非0元素 int t; // 判斷如果對於A中非0元素，找到矩陣B中做乘法的那一行中的所有的非0元素 if(brow < B.mu) t = B.rpos[brow+1]; else t = B.tu+1; int q; //遍歷找到的對應的非0元素，開始做乘積運算 for(q=B.rpos[brow]; q<t; q++) { //得到的乘積結果，每次和ctemp數組中相應位置的數值做加和運算 ccol = B.data[q].j; ctemp[ccol] += A.data[p].e * B.data[q].e; } }
//矩陣C的行數等於矩陣A的行數，列數等於矩陣B的列數，所以，得到的ctemp存儲的結果，也會在C的列數的范圍內 for(ccol=1; ccol<=C.nu; ccol++) { //由於結果可以是0，而0不需要存儲，所以在這里需要判斷 if(ctemp[ccol]) { //不為0，則記錄矩陣中非0元素的個數的變量tu要+1；且該值不能超過存放三元素數組的空間大小 if(++C.tu > MAXSIZE) return C; else
{ C.data[C.tu].e = ctemp[ccol]; C.data[C.tu].i = arow; C.data[C.tu].j = ccol; } } } }
return C; } }
int main(int argc, char *argv[]) { RLSMatrix M, N, T; M.tu = 4; M.mu = 3; M.nu = 4; M.rpos[1] = 1; M.rpos[2] = 3; M.rpos[3] = 4; M.data[1].e = 3; M.data[1].i = 1; M.data[1].j = 1; M.data[2].e = 5; M.data[2].i = 1; M.data[2].j = 4; M.data[3].e = -1; M.data[3].i = 2; M.data[3].j = 2; M.data[4].e = 2; M.data[4].i = 3; M.data[4].j = 1; N.tu = 4; N.mu = 4; N.nu = 2; N.rpos[1] = 1; N.rpos[2] = 2; N.rpos[3] = 3; N.rpos[4] = 5; N.data[1].e = 2; N.data[1].i = 1; N.data[1].j = 2; N.data[2].e = 1; N.data[2].i = 2; N.data[2].j = 1; N.data[3].e = -2; N.data[3].i = 3; N.data[3].j = 1; N.data[4].e = 4; N.data[4].i = 3; N.data[4].j = 2; T= MultSMatrix(M, N, T); for (int i=1; i<=T.tu; i++)
{ printf("(%d,%d,%d)\n",T.data[i].i,T.data[i].j,T.data[i].e); }
return 0; } 輸出結果： (1,2,6) (2,1,-1) (3,2,4)
總結
當稀疏矩陣 A mn 和稀疏矩陣 B np 采用行邏輯鏈接的順序表做乘法運算時，在矩陣 A 的列數（矩陣 B 的行數） n 不是很大的情況下，算法的時間復雜度相當於O(m*p)，比普通算法要快很多。