數據結構24：矩陣壓縮存儲(十字鏈表、三元組順序表、行邏輯鏈接的順序表）

如果矩陣中有很多數值相同的數據元素，在存儲時，可以考慮對其進行適當的壓縮存儲。

有必要壓縮存儲的矩陣大致分為兩大類：

• 矩陣中含有大量的相同數值，稱為特殊矩陣（例如對稱矩陣和上下三角矩陣）。
• 矩陣中只有極少量的元素是非 0 元素，稱為稀疏矩陣。

兩類矩陣壓縮存儲的方法：

1. 特殊矩陣中，對於相同的數據元素，只存儲一個。
2. 稀疏矩陣中，只需要存儲非 0 元素。

對稱矩陣

如果n階矩陣中的元素滿足： a _ij = a _ji ( i 為行標， j 為列標)，就稱這個矩陣為對稱矩陣。

圖1 對稱矩陣

圖1 為 3 階對稱矩陣，圖中的虛線為矩陣的 “主對角線” ，主對角線上方區域稱為 “上三角” ；主對角線下方稱為 “下三角” ，沿主對角線對稱的數據元素一一相等，所以對於此矩陣來說，只需要存儲 6 個元素即可。

若將對稱矩陣壓縮存儲在一維數組 S[k] 中，矩陣中數據元素在數組中存儲的位置和所在的行標（用 i 表示）和列標（用 j 表示）有關。

對稱矩陣沿主對角線對稱的數據元素相等，任選一邊的數據元素進行存儲即可：

存儲下三角區域的數據元素：

存儲上三角區域的數據元素：

上下三角矩陣

上下三角矩陣，和對稱矩陣類似，不同在於，上三角矩陣是指主對角線下方的元素（不包括主對角線上的）都是常數C（包括數值 0 ）；同理，下三角矩陣是指主對角線上方的元素都是常數C。

例如：

圖2 下三角矩陣

存儲時，上（下）三角存儲上（下）三角的數據元素，除此之外，額外存儲一個下（上）三角含有的常數C（圖 2 中，C==0）。

稀疏矩陣

稀疏矩陣，簡單的說，就是矩陣中只含有少量的非 0 元素，相比於使用普通方式將矩陣中的所有數據元素一一存儲，不如只存儲非 0 元素更節省內存空間。

例如：

圖 3 稀疏矩陣 

矩陣壓縮存儲的方式

矩陣壓縮存儲的方式有 3 種，分別為：三元組順序表、行邏輯鏈接的順序表和十字鏈表。

三元組順序表

在存儲稀疏矩陣時，除了要存儲非 0 元素的值之外，還需要存儲元素所在矩陣中的行標 i 和列標 j ，三個元素構成三元組（行標，列標，元素值）。

所以，表示三元組結構需要使用結構體進行自定義：

//三元組結構體
typedef struct 
{
　　int i, j;　　//行標i，列標j
　　int data;　　//元素值
}triple;

 

每個稀疏矩陣的表示，需要存儲矩陣中所有非 0 元素的三元組，並且還需要記錄矩陣的行數和列數，這樣才能唯一確定一個稀疏矩陣。
所以，表示矩陣的結構也需要使用結構體實現：
#define number 100
//矩陣的結構表示
typedef struct {
triple data[number];//存儲該矩陣中所有非0元素的三元組
int n,m,num;//n和m分別記錄矩陣的行數和列數，num記錄矩陣中所有的非0元素的個數
}TSMatrix;
例如，對於圖 3 的稀疏矩陣來說，即將（2，2，3）、（2，3，4）、（3，2，5）存儲進 data 數組，並且存儲稀疏矩陣的行數3和列數3 ，該稀疏矩陣中非 0 元素有 3 個。

行邏輯鏈接的順序表

使用三元組順序表存儲矩陣后，當需要提取矩陣某一行的非 0 元素時，需要遍歷整個順序表。
為了提高查找的效率，在三元組順序表的基礎上，增加一個數組用於記錄每一行第一個非 0 元素的存儲位置，這樣的存儲結構，稱為：行邏輯鏈接的順序表。

結構代碼：

#define number 100


typedef struct 
{
　　int i, j;
　　int data;
}triple;

typedef struct 
{
　　triple data[number];
　　int rpos[number];　　//存儲各行第一個非0元素在三元組表中的位置
　　int n, m, num;
}TSMatrix;

 

十字鏈表

以上兩種存儲稀疏矩陣的方法，說到底，還是操作數組，在進行矩陣運算過程中，如果有插入非 0 元素或者刪除某一個元素的操作，可能需要大量的移動數組中的三元組。這時，就要考慮使用鏈表的存儲結構。

例如在進行“將矩陣 B 加到矩陣 A 上”的操作時，矩陣 A 中的數據元素會發生很大的變化，之前的 0 元素可能變成非 0 元素，非 0 元素也可能變成 0 （正負數相加為 0）。在這種情況下，就需要使用鏈表的存儲結構來存儲矩陣，這種存儲方式稱為：十字鏈表法。

例如，將下列矩陣以十字鏈表的方式存儲起來：

圖4 十字鏈表

采用十字鏈表法存儲矩陣的非 0 元素時，鏈表中的結點由 5 部分組成：

圖5 十字鏈表中的結點

兩個指針域：一個指向所在列的下一個元素，一個指向所在行的下一個元素。

結構代碼：

typedef struct OLNode
{
　　int i, j;
　　int data;
　　struct OLNode *right, *down;
}OLNode;

//此結構體表示一個矩陣，其中包含矩陣的行數，列數，非0元素的個數以及用於存儲各行以及各列元素頭指針的動態數組rhead和chead。
typedef struct 
{
　　OLNode *rhead, *chead;
　　int n, m, num;
}CrossList;

總結

稀疏矩陣的三種不同的存儲方法，采用哪種方法要看程序具體要實現的功能：
如果想完成例如矩陣的轉置這樣的操作，宜采用三元組順序表；
如果想實現矩陣的乘法這樣的功能，宜采用行邏輯鏈接的順序表；
如果矩陣運算過程中（例如矩陣的加法），需要不斷地插入非 0 元素或刪除變為 0 的元素，宜采用十字鏈表法。

有關三種存儲方法的實例：矩陣轉置、矩陣的乘法和矩陣的加法各自利用一節來詳細介紹。