協方差分析是方差分析、回歸分析和協方差的結合體。
我覺得這種分析思想非常實用，尤其是對confounder雲集的生物學數據。
回顧：
什么是協方差？co-vary
協方差和相關性？standardize
協方差分析最經典的一個例子就是GWAS中移除SNP中的人種因素。
If you are worried about leaving out covariates you could regress out them first and analyse the residuals against the Snps.
在實驗設計中，協變量是獨立變量，實驗者不能操縱，但仍影響實驗結果。
我想知道溫度對於降水量的影響，但是海拔高度、經緯度、當地濕度等變量也會影響降水量。那么，在我的研究中，溫度就是自變量，降水量是應變量，而海拔高度、經緯度和當地濕度就是協變量。
> input <- mtcars[,c("am","mpg","hp")]
> print(head(input))
am mpg hp
Mazda RX4 1 21.0 110
Mazda RX4 Wag 1 21.0 110
Datsun 710 1 22.8 93
Hornet 4 Drive 0 21.4 110
Hornet Sportabout 0 18.7 175
Valiant 0 18.1 105
> # Get the dataset.
> input <- mtcars
> # Create the regression model.
> result <- aov(mpg~hp*am,data = input)
> print(summary(result))
Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
hp 1 678.4 678.4 77.391 1.50e-09 ***
am 1 202.2 202.2 23.072 4.75e-05 ***
hp:am 1 0.0 0.0 0.001 0.981
Residuals 28 245.4 8.8
---
Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
> # Get the dataset.
> input <- mtcars
> # Create the regression model.
> result <- aov(mpg~hp+am,data = input)
> print(summary(result))
Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
hp 1 678.4 678.4 80.15 7.63e-10 ***
am 1 202.2 202.2 23.89 3.46e-05 ***
Residuals 29 245.4 8.5
---
Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
> # Get the dataset.
> input <- mtcars
> # Create the regression models.
> result1 <- aov(mpg~hp*am,data = input)
> result2 <- aov(mpg~hp+am,data = input)
> # Compare the two models.
> print(anova(result1,result2))
Analysis of Variance Table
Model 1: mpg ~ hp * am
Model 2: mpg ~ hp + am
Res.Df RSS Df Sum of Sq F Pr(>F)
1 28 245.43
2 29 245.44 -1 -0.0052515 6e-04 0.9806
參考：
Analysis of Covariance (ANCOVA) easily explained
Analysis of Covariance (ANCOVA) with Two Groups