原創
標題：希爾伯特曲線
希爾伯特曲線是以下一系列分形曲線 Hn 的極限。我們可以把 Hn 看作一條覆蓋 2^n × 2^n 方格矩陣的曲線，曲線上一共有 2^n × 2^n 個頂點(包括左下角起點和右下角終點)，恰好覆蓋每個方格一次。
[p1.png]
Hn(n > 1)可以通過如下方法構造：
1. 將 Hn-1 順時針旋轉90度放在左下角
2. 將 Hn-1 逆時針旋轉90度放在右下角
3. 將2個 Hn-1 分別放在左上角和右上角
4. 用3條單位線段把4部分連接起來
對於 Hn 上每一個頂點 p ，我們定義 p 的坐標是它覆蓋的小方格在矩陣中的坐標(左下角是(1, 1)，右上角是(2^n, 2^n)，從左到右是X軸正方向，從下到上是Y軸正方向)，
定義 p 的序號是它在曲線上從起點開始數第幾個頂點(從1開始計數)。
以下程序對於給定的n(n <= 30)和p點坐標(x, y)，輸出p點的序號。請仔細閱讀分析源碼，填寫划線部分缺失的內容。
#include <stdio.h>
long long f(int n, int x, int y) {
if (n == 0) return 1;
int m = 1 << (n - 1);
if (x <= m && y <= m) {
return f(n - 1, y, x);
}
if (x > m && y <= m) {
return 3LL * m * m + f(n - 1, ________________ , m * 2 - x + 1); // 填空
}
if (x <= m && y > m) {
return 1LL * m * m + f(n - 1, x, y - m);
}
if (x > m && y > m) {
return 2LL * m * m + f(n - 1, x - m, y - m);
}
}
int main() {
int n, x, y;
scanf("%d %d %d", &n, &x, &y);
printf("%lld", f(n, x, y));
return 0;
}
注意：只填寫划線處缺少的內容，不要填寫已有的代碼或符號，也不要填寫任何解釋說明文字等。
（分別稱下圖三個網格稱為A、B、C網格）
#include <stdio.h> long long f(int n, int x, int y) { //（x，y）只是用來判斷在哪部分 if (n == 0) return 1; int m = 1 << (n - 1); if (x <= m && y <= m) { //左下角 return f(n - 1, y, x); //返回給上一層的是此點在此層的序號 } if (x > m && y <= m) { //右下角 return 3LL * m * m + f(n - 1,m+1-y, 2 * m - x + 1); // 填空 } if (x <= m && y > m) { //左上角 return 1LL * m * m + f(n - 1, x, y - m); } if (x > m && y > m) { //右上角 return 2LL * m * m + f(n - 1, x - m, y - m); } } int main() { int n, x, y; scanf("%d %d %d", &n, &x, &y); //n為2的指數,(x,y)為頂點坐標 printf("%lld", f(n, x, y)); return 0; } /* 得找出當前層的點對下一層相應點的映射關系 */
答案：m+1-y
要明確的是：每個網格中的1*1的方格都對應曲線上的一個頂點——即使有些1*1的方格內不存在轉折點，但也是曲線上的一個頂點。
int m = 1 << (n - 1); /* 左移1位相當於原數*2，左移2位相當於原數*pow(2,2); 所以 m==1*pow(2,n-1); 其實 m存儲的就是邊長為：pow(2,n) x pow(2,n) 的二分之一的長 比如：輸入的 n = 3，網格規模為8x8，則 m==4 */
if (x <= m && y <= m) { //左下角 return f(n - 1, y, x); //返回給上一層的是此點在此層的序號 } if (x > m && y <= m) { //右下角 return 3LL * m * m + f(n - 1,m+1-y, 2 * m - x + 1); // 填空 } if (x <= m && y > m) { //左上角 return 1LL * m * m + f(n - 1, x, y - m); } if (x > m && y > m) { //右上角 return 2LL * m * m + f(n - 1, x - m, y - m); } /* 四個 if()中的 return 返回給上一層都是當前層頂點（x，y）的序號 根據曲線的走勢，左下角是序號的第一部分，其實是左上角、右上角、右下角 比如我們要求左上角的頂點序號，所以我們應該要加上左下角的頂點數：1LL*m*m; 要求右下角的頂點序號，要加上前面三部分（左下角、左上角、右上角）的頂點數：3LL * m * m XLL * m * m + f() (X=0/1/2/3,LL 代表長長整型) f()代表的是下一層傳過來的點序號 所以 '+' 左邊的部分加上右邊的部分==（x，y）的序號 */
XLL * m * m + f（）中 f（）的兩個參數的確定：
n-1傳遞給下一層，方便計算m，這里不解釋；
另外兩個參數分別對應下一層的（x，y），即用這層的 x’，y‘表示下一層的 x，y ；
左上角、右上角、左下角中的參數容易確定，我們用待定系數法來確定右下角的兩個參數；
if (x > m && y <= m) { //右下角 return 3LL * m * m + f(n - 1,m+1-y, 2 * m - x + 1); // 填空 }
由 2 * m - x + 1 可知下一層的 y 和當前層的 x 是相關聯的；
所以推測下一層的 x 和當前層的 y 是相關聯的；
設當前層的坐標為 （x'，y'），下一層的坐標為（x，y）；
所以 y = 2 * m - x' + 1；即 x' = 2 * m - y + 1；（用下一層的坐標表示當前層的坐標）
可設 y’ = m*a + b*x + c；由於 m已知，所以可化簡為 y' = b*x + F
我們從B、C兩圖中找出可以帶入上式求出未知參數的坐標；
（1，1）——> （8，4）
（2，1）——> （8，3）
（3，1）——> （8，2）
左邊的坐標從B圖中任意取，右邊的坐標要從C圖的右下角部分取（我們的目標是右下角）；
比如B圖中的序號為7的頂點的坐標為（2，4）；在C圖右下角也找到序號為7的頂點，坐標為（5，3）；
將左邊坐標的橫坐標、右邊坐標的縱坐標代入 y' = b*x + F 得：
4=b+F;
3=2b+F;
解得 b = -1，F=5；
所以 m*a+c=5；從 x' 的表達式很容易就可以推測出 F = m + 1；
當然，我這種是不嚴格的解題方法！
22:31:53
2018-05-08