Eigen學習之簡單線性方程與矩陣分解

　　Eigen提供了解線性方程的計算方法，包括LU分解法，QR分解法，SVD（奇異值分解）、特征值分解等。對於一般形式如下的線性系統：

　　　　　　　　

　　解決上述方程的方式一般是將矩陣A進行分解，當然最基本的方法是高斯消元法。

　　先來看Eigen 官方的第一個例程：

#include <iostream>
#include <Eigen/Dense>

using namespace std;
using namespace Eigen;

int main()
{
    Matrix3f A;
    Vector3f b;
    A << 1,2,3, 4,5,6, 7,8,10;
    b << 3,3,4;
    cout<<"Here is the Matrix A:\n"<< A <<endl;
    cout<<" Here is the vector b:\n"<< b <<endl;
    Vector3f x = A.colPivHouseholderQr().solve(b);
    cout<<"The solution is:\n"<<x<<endl;
    return 0;
}

運行結果如下：

Eigen內置的解線性方程組的算法如下表所示：

 

使用這些接口也可以解決矩陣相乘的問題：

#include <iostream>
#include <Eigen/Dense>

using namespace std;
using namespace Eigen;

int main()
{
    Matrix2f A,b;
    A << 2,-1,-1,3;
    b << 1,2,3,1;
    cout<<"Here is the matrix A:\n"<<A<<endl;
    cout<<"Here is the right hand side b:\n"<<b<<endl;
    Matrix2f x = A.ldlt().solve(b);
    cout<<"The solution is:\n"<<x<<endl;
    return 0;
}

運行結果如下：

 

Eigen也提供了計算特征值和特征向量的算法：

下面是一個簡單的例子：

#include <iostream>
#include <Eigen/Dense>

using namespace std;
using namespace Eigen;

int main()
{
    Matrix2f A;
    A << 1,2,2,3;
    cout<<"Here is the matrix A:\n"<<A<<endl;
    SelfAdjointEigenSolver<Matrix2f> eigensolver(A);
    if( eigensolver.info() != Success ) abort();
    cout<<" The eigenvalues of A are:\n"<<eigensolver.eigenvalues()<<endl;
    cout<<" Here is a matrix whose columns are eigenvectors of A\n"
        <<" corresponding to these eigenvalues:\n"
        <<eigensolver.eigenvectors()<<endl;
    return 0;
}

運行結果如下：

 

Eigen 也提供了求逆矩陣和求矩陣行列式的算法，但是這兩種算法對於大型矩陣來說都是非常不經濟的算法，當需要對大型矩陣做這種的操作時，需要自己判斷到底需不需這樣做。但是對於小型矩陣 則可以沒有顧慮地使用。

下面是一個例子：

#include <iostream>
#include <Eigen/Dense>

using namespace std;
using namespace Eigen;

int main()
{
    Matrix3f A;
    A << 1,2,1,
         2,1,0,
         -1,1,2;

    cout<<"Here is the matrix A:\n"<<A<<endl;
    cout<<"The determinant of A is "<<A.determinant()<<endl;
    cout<<"The inverse of A is:\n"<<A.inverse()<<endl;
    return 0;
}

運行結果如下：

 

Eigen也提供了解最小二乘問題的解法，並給出兩種實現，分別是BDCSVD和JacobiSVD,其中推薦使用的一種是BDCSVD。下面是一個例子：

#include <iostream>
#include <Eigen/Dense>

using namespace std;
using namespace Eigen;

int main()
{
    MatrixXf A = MatrixXf::Random(3,2);
    cout<<"Here is the matrix A:\n"<<A<<endl;
    VectorXf b = VectorXf::Random(3);
    cout<<"Here is the right hand side b:\n"<<b<<endl;
    cout<<"The least-squares solution is:\n"
        <<A.bdcSvd(ComputeThinU|ComputeThinV).solve(b)<<endl;
    return 0;
}

運行結果如下：