線性函數/映射
線性函數/映射 $f: A \rightarrow B $ 為兩個 [標量/向量] 空間 \(A,B\) 的對應關系，
在微積分，解析幾何等相關領域中，線性函數（function）是一個一次或者少於一次的多項式，對於單一變量如
或多變量的函數，其中 \(l,m\) 為已知定常數，由於其函數圖像為非垂直的直線或超平面，通常也被稱作線性函數[1]。
\(f_f\) 在線性代數中稱為一個仿射映射，當 \(m=0\) 時才為線性映射
線性映射（map）的結果為標量場，則被稱作線性函數，也即向量空間到標量場的映射，線性映射$f_m: A \rightarrow B $ 應該滿足線性特征：
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可加性： \(f_m(a+b)=f_m(a)+f_m(b) % This is a copyright statement edited by litbro, please ignore it.\)
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齊次性： \(f_m(ka)=kf_m(a)\) ，\(\forall k \in R\)
由於函數也可以表示成兩個空間的映射，因此這兩個線性概念很容易引起混淆，一個是基於圖形幾何直覺，一個是基於數學空間理論。作為專業學習，我們不妨全部基於數學的角度，僅將滿足線性特征的函數/映射稱為 [線性函數/映射]，如 \(f_f(x)_{m=0}\)，將 \(f_f(x)_{m\neq 0}\) 稱為 --仿射函數/映射--。
仿射變換
在歐幾里德幾何中，仿射（affine）變換是一種保留直線和平行性(但不一定是距離和角度)的幾何變換[2]。
如圖，每片葉子都通過仿射變換彼此相連。例如，通過反射、旋轉、縮放和平移的組合，紅葉可以轉換成深藍色葉和任何淺藍色葉。每一個仿射變換都可以看成是 [一個線性變換] + [一個平移]，這並不保證原點仍然不變，因此每一個線性變換都是仿射變換，但是仿射變換不一定是線性變換。
線性方程
線性方程通常由一組 [不全為0已知系數] 和 [一次或零次的未知變量] 確定，滿足方程解的未知變量組成了一個解空間，如方程 $Eq_1 $ ：
確定了一個 [\(n-1\)] 維的解空間[3]
\(Eq_1\) 在 Euclidean 空間中則確定了一個 [\(n-1\)] 維的超平面，\(n=2\) 時則對應 Euclidean 平面中的一條直線
因此 \(Eq_1\) 也被稱為線性方程，在 Euclidean 空間中可以改寫為如下通式：
根據通式，有一個以未知函數為變量的常微分方程 \(Eq_2\) ：
其中 \(F\) 為關於 \(x\) 函數的空間，關於未知量的每一項都是一次或者零次， \(Eq_2\) 被稱為線性常微分方程，即使 \(a_n=a_n(x)\) 不為實常數
線性方程應該滿足兩個特征：
有兩個解 X，Y，那么 X+Y 也是方程的解
解 X 乘任意非零常數 c，cX 還是方程的解
通常方程 2x+3y=10 也被稱作線性（linear）方程，為了和上述線性特征區分開來，嚴格來說應該是仿射方程，它的齊次形式 2x+3y=0 才是線性方程。
齊次方程
當 \(b=0\) 時 \(Eq_1\) 被稱為齊次線性方程，而對於齊次常微分方程，課本中有兩種常規形式：
- \(\frac{dy}{dx}=f(\frac{y}{x})\) ，如 \(x^2y^{'} + xy = x^2\)
- \(\frac{dy}{dx} + P(x)y = 0\) ，如 $ y^{'} + xy = 0 $
[形式一] 不一定是一個線性方程，ta還可以有非線性形式，如：\(y'-\frac{2xy}{3x^2-y^2}=0\)
[形式二] 則對應一個齊次線性常微分方程
對於形式一中的例子，兩邊同除 \(x^2\) 得到 \(y^{'} + \frac{1}{x}y = 1\) ，與形式二明顯沖突，這里非常不解，齊次有兩個不同的表示形式，難道說齊次是兩個性質？
這里應該換一種思路來考慮，這兩個形式其實都是一個齊次性質的表現。
有函數 \(f(x)\) ，對於任意實常數若:
\[f(ax)=a^kf(x) \]則稱 \(f\) 為 \(k\) 階齊次度的齊次函數。
那么，到底什么是齊次方程呢？一般是指簡化后的方程中所有非零項的指數相等，如：
這個方程確定了一個關系式 \(y=f(x)\) ，因此：
\(f(x)\) 不一定為函數，因為可以存在 \((x,y_1)\) 和 \((x,y_2)\) 都滿足這個方程，如齊次方程 \(x^2 - y^2 = 0\)
代入 \(\overline x = ax\) 得到：
易知當 \(f(ax) = af(x)\) 時，上式滿足。對於常微分方程 \(F(x,y,y^{'},...,y^n)=0\) ，若[4]：
其中 \(a >0\) 且不等於1，\(k,l\) 為任意固定的實常數，滿足 \(F(\overline x,\overline y,\overline y^{'},...,\overline y^n)=0\) ，即 \(F\) 確定的 [表達式] \(y=f(x)\) 滿足
當 \(k=0,l \neq 0\) 時，即
這意味着一個 \(x\) 對應多個 \(y\) ，這時候 \(F\) 被稱為齊次微分方程。這時候再來看上邊提到的兩種齊次常微分方程形式
- \(\frac{dy}{dx}=f(\frac{y}{x})\) ，如 \(x^2y^{'} + xy = x^2\) ， \(\overline x = ax\) ，\(\overline y = ay\) 滿足原方程
- \(\frac{dy}{dx} + P(x)y = 0\) ，如 $ y^{'} + xy = 0 $ ， \(\overline x = x\) ，\(\overline y = ay\) 滿足原方程
\(y'+y^2 = \frac{5}{2x^2}\) 也可以找到一組對應的 \(k=1,l=-1\) ，然后將 \(\overline x ,\overline y\) 代入方程依然滿足，因此 ta 也是齊次微分方程，盡管 ta 不屬於上面的兩種形式
而方程 \(y''-\frac{2xy}{3x^2-y^2}=0\) 非齊次
從這抄的
[1] Linear function, Wikipedia
[2] Affine Transformation, Wikipedia
[3] Linear Equation, Wikipedia
[4] Nail H. Lbragimov. A practical course in differential equations and mathematical modelling, Higher Education Press & World Scientific, China, 2010.
最后更新於 2020年12月28日 --- 最初發表於 2020年12月27日
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