最清楚的01背包問題講解

題目：

01背包問題描述：有編號分別為a,b,c,d,e的N=5件物品，它們的重量w分別是2,2,6,5,4，它們的價值v分別是6,3,5,4,6，每件物品數量只有一個，現在給你個承重為M=10的背包，如何讓背包里裝入的物品具有最大的價值總和sum_v？

 

在DP(dynamic programming，動態規划)問題中，01背包問題是比較基礎和簡單的了，但是網上很多人的講解要么長長一大段，長篇公式理論，要么就是知識把狀態轉移方程列了出來，而沒有說明為什么方程是這么寫的，下面我力圖將01背包問題中最簡單最核心的概念和思路講一下：

1. 此01背包問題本質上是窮舉背包容量和可供選擇的物品(意思是里面的物品可能會放進背包，可能不會放進背包)，取得最優解，只不過在窮舉的過程中，會根據狀態轉移方程，只計算可能獲得的最優解的部分，不去計算不是最優解的部分。具體來看，解題思路是把該問題分解為一個一個的小問題，一步步的通過小問題的最優解，最終得到大問題的最優解，跟我們人腦解題的思路是一樣的。比如第一個小問題是“當我的背包承重M=1，只有編號為a的物品可供選擇時，最優解是什么”，然后下一個小問題是建立在前一個小問題的基礎上“當我的背包承重M=1，有編號為a,b的物品可供選擇時，最優解是什么”，以此類推。

2. 為什么能列出狀態轉移方程？是因為每個狀態的最優解，都是根據之前的狀態的最優解獲得的。具體到背包問題，有以下幾點：

　　a) 當物品備選情況（物品備選情況指：可供選擇的物品的集合）一致時，背包容量M越大，那么sum_v一定大於等於原來的值。

　　b) 背包容量M確定時，可供選擇的物品N越多，那么sum_v一定大於等於原來的值。

　　c) 由a)和b)可得，sum_v的最大值就是當M和N取到最大值時的sum_v

　　c) 從思路上說，01背包問題有兩個維度：背包容量M，和供選擇物品數N。編程的本質是實現人類解決現實問題的思路。仔細想想，如果不借助計算機，你該如何解決這個問題？答案是，例如考慮M=1時，先考慮a能否放入背包，取得最大值，再考慮a和b能否放入背包（a和b都是備選，最終放入背包的可能是a，可能是b，也可能是ab），這時因此與之前只考慮a的情況相比，多了一個b，所以：

• 要先判斷b能否單獨放進背包：
  •        如果不能，那么備選為a,b時最大值，等於備選只有a時的最大值（因為b是放不進背包的）。
  • 　　如果能，即b能夠放進去，還有兩種可能（即將b放進背包，和不將b放進背包），對這兩種可能性，要取最大值：
    • • 　　最終將b放進去(注：此時物品a是否被放進背包是未知的，原因是：剩余的背包容量可能不足以放進物品a，即要在剩余可選物品里找出最優解。
      • 　　最終沒有將b放進去（因為后面可能有比b更合適的物品放進去），此時最大值等於備選只有a時的最大值

　　用數學的方式描述上段話：sum_v[i][j]表示將前i件物品列為備選，背包容量為j時，能獲得的最大價值；w[i]表示第i件物品的重量，v[i]表示第i件物品的價值

#此時背包容量 M=1
if 1 >=w[2]:
    sum_v[2][1] = max(sum_v[1][j-w[2]] + v[2], sum_v[1][1])
else:
    sum_v[2][1] = sum_v[1][1]

　　推廣到任意情況，即得到我們的狀態轉移方程：

if j >=w[i]:
    sum_v[i][j] = max(sum_v[i-1][j-w[i]] + v[i], sum_v[i-1][j])
else:
    sum_v[i][j] = sum_v[i-1][j]

　　sum_v的最大值就是sum_v[i][j]的最后一個元素

 

 

 

如何讀圖： 例如填充紅色格子這里，指在容量M=3，將a,b,c,d 這4件物品考慮在內時，可以取得的最大價值。

 

 

3. 計算時進行簡單的數據結構改造。因為當i=1時，即計算開始階段，還要考慮到如果第1件物品放不進去的情況，此時沒有物品在背包中，因此重量和價值都是0.因此需要在表示物品重量和價值的列表前加一個數據0。

另外，當沒有物品在背包中時，價值為0.所以需要sum_v[i][j]初始值全部設為0.

下面是詳細代碼：

#!/usr/bin/env python3
# -*- coding:utf-8 -*-
import copy

class ZOPACK(object):
    def __init__(self,n,m,w,v):
        self.num = n
        self.capacity = m
        self.weight_list = [0,] + w
        self.value_list = [0,] + v
        self.Sum_Value_Metrix = self.__CreateMetrix__(self.num+1,self.capacity+1,0)
        
    def __CreateMetrix__(self,x,y,init_value):
        d2_list = []
        for i in range(x):
            d1_list = []
            for j in range(y):
                d1_list.append(init_value)
            d2_list.append(d1_list)
        return d2_list
        
    def dp(self):
        sum_v = self.Sum_Value_Metrix
        num = self.num
        capacity = self.capacity
        w = self.weight_list
        v = self.value_list
        for i in range(1,num+1):
            for j in range(1,capacity+1):
                if j >=w[i]:
                    #print("i,j:%s,%s" % (i,j))
                    sum_v[i][j] = max(sum_v[i-1][j-w[i]] + v[i], sum_v[i-1][j])
                else:
                    sum_v[i][j] = sum_v[i-1][j]
        print("The max value we can get is: ", sum_v[-1][-1])
        print(sum_v)

if __name__ == "__main__":
    num = 5
    capacity = 10
    weight_list = [2, 2, 6, 5, 4]
    value_list = [6, 3, 5, 4, 6]
    q = ZOPACK(num,capacity,weight_list,value_list)
    q.dp()